Öklid, Öğeler: Birinci Kitap

[s. 5] Kendiliğinden bilinen ilkeler üzerine ve ilkin bunların tanımlarına dair.

Pek basiretli Öklid'in Elemanlar adlı en meşhur kitabı, Geometri sanatına pek uğurlu bir başlangıç yapar.

Nokta, parçası olmayan şeydir. ¶ Doğru, genişliği olmayan bir uzunluktur; uçları ise iki noktadır. ¶ Düz doğru, bir noktadan diğerine giden en kısa uzantıdır ve uçlarına bu noktaların her birini alır. ¶ Yüzey, yalnızca uzunluğu ve genişliği olan şeydir; sınırları ise doğrulardır. ¶ Düzlem yüzey, bir doğrudan diğerine olan ve [doğruları] uçlarına alan uzantıdır. ¶ Düzlem açı, yayılımı bir yüzey üzerinde olan ve birleşimi düz bir doğrultuda bulunmayan iki doğrunun birbirine değmesidir. ¶ Fakat açıyı iki düz doğru kuşattığında, buna doğrusal açı denir. ¶ Düz bir doğru [başka bir] düz doğru üzerinde dikilip her iki yandaki iki açı birbirine eşit olduğunda, bunların her biri dik [açı] olacaktır. ¶ Ve diğerinin üzerinde dikilen doğruya dikme denir. ¶ Dik açıdan daha büyük olan açıya geniş açı denir. ¶ Dik açıdan daha küçük olan açıya dar açı denir. ¶ Sınır, her bir şeyin sonu olan şeydir. ¶ Şekil, bir sınır ya da sınırlar tarafından kuşatılmış olan şeydir. ¶ Çember, çevre adı verilen tek bir doğrunun kuşattığı düzlem bir şekildir; bunun ortasında bir nokta vardır ve oradan çevreye uzanan tüm düz doğrular birbirine eşittir. Ve bu noktaya çemberin merkezi denir. ¶ Çemberin çapı, merkezinden geçen, uçlarını çevreye bitiştiren ve çemberi iki eşit parçaya bölen düz bir doğrudur. ¶ Yarım çember, çemberin çapı ve çevresinin yarısı tarafından kuşatılan düzlem bir şekildir. ¶ Çember parçası [Not: segment], düz bir doğru ve çember çevresinin bir kısmı tarafından kuşatılan düzlem bir şekildir; yarım çemberden ya daha büyük ya da daha küçüktür. ¶ Doğrusal şekiller, düz doğrular tarafından kuşatılanlardır; bunlardan bazıları üç kenarlıdır, üç düz doğru tarafından [kuşatılır]; bazıları dört kenarlıdır, dört düz doğru tarafından [kuşatılır]; bazıları ise çok kenarlıdır, bunlar dörtten fazla düz doğru tarafından kuşatılır. ¶ Üç kenarlı şekillerden biri, üç eşit kenarı olan üçgendir [Not: eşkenar]. Diğeri, iki eşit kenarı olan üçgendir [Not: ikizkenar]. Bir diğeri, üç eşit olmayan kenarı olan üçgendir [Not: çeşitkenar]. Bunlar arasında yine biri dik açılı üçgendir [Not: aslı: orthogonium], yani bir dik açısı vardır. Diğeri, bir geniş açısı olan geniş açılı üçgendir [Not: aslı: ambligonium]. Bir başkası ise üç açısı da dar olan dar açılı üçgendir [Not: aslı: oxigonium]. ¶ Dört kenarlı şekillerden biri, eşkenar ve dik açılı olan karedir. Diğeri, dik açılı bir şekil olan fakat eşkenar olmayan uzun dörtgendir [Not: aslı: tetragonus longus; dikdörtgen]. Bir diğeri, eşkenar olan fakat dik açılı olmayan "belmuaym"dir [Not: aslı: belmuaym; eşkenar dörtgen için Arapçadan gelen Orta Çağ terimi].

Doğru Nokta düzlem yüzey.

[Not: Yatay bir doğru, tek bir nokta ve "düzlem yüzey" olarak etiketlenmiş bir dikdörtgen gösteren geometrik çizim.]

düzlem açı dik açı dikme

[Not: Dik açı oluşturan kesişen iki doğrunun çizimi; dikey doğrulardan biri dikme olarak etiketlenmiştir.]

Çember dar geniş açı

[Not: Tam bir çember, bir dar açı ve bir geniş açı gösteren çizimler.]

Çap Büyük parça Küçük parça Yarım çember

[Not: Çap doğrusu bulunan bir çember ve yarım çember ile büyük ve küçük parçaları içeren çeşitli daire kesmelerini gösteren çizimler.]

Eşkenar iki eşit kenarlı üç eşit olmayan kenarlı

[Not: Üç üçgen çizimi: eşkenar, ikizkenar ve çeşitkenar.]

Dar açılı Dik açılı Geniş açılı

[Not: Dar açılı (oxygon), dik açılı (orthogon) ve geniş açılı (amblygon) üçgen çizimleri.]

Uzun dörtgen kare belmuaym [Not: eşkenar dörtgen]

[Not: Bir dikdörtgen (tetragonus longus), bir kare (quadratus) ve bir eşkenar dörtgen (belmuaym) çizimleri.]

[s. 6] Baklavamsıya benzer [Not: aslı: "Silis belmu", muhtemelen "similis helmuaym" ifadesinin kısaltması] [Not: Bir çizim, karşıt kenarları eşit ve paralel olan ancak iç açıları 90 derece olmayan baklavamsı bir dörtgen göstermektedir.]

¶ Bir diğeri, karşıt kenarları eşit ve karşıt açıları eşit olan baklavamsıdır [Not: aslı: "helmuaym", Orta Çağ'da kullanılan ve Öklid'in Arapça çevirilerinden türetilmiş bir terim]; bununla birlikte ne dik açılarla ne de eşit kenarlarla kuşatılmıştır. Bütün bunların haricinde kalan tüm dört kenarlı şekillere ise yamuk [Not: aslı: "helmuay/riphe"] denir. ¶ Paralel doğrular, aynı düzlemde yer alıp her iki yöne doğru uzatıldıklarında sonsuza kadar çekilseler dahi kesişmeyen doğrulardır.

Paraleller. [Not: İki çizim gösterilmektedir: üstteki eşmerkezli iki çemberi; alttaki ise bir çapraz kesen doğruyla kesilmiş iki paralel yatay doğruyu göstermektedir.] Beş Postulat vardır: ¶ Herhangi bir noktadan herhangi bir noktaya düz bir doğru çizmek. ¶ Sınırlı düz bir doğruyu, doğru bir doğrultuda istendiği kadar kesintisiz uzatmak. ¶ Herhangi bir merkez etrafında, herhangi bir mesafeyi yarıçap alarak bir çember çizmek. ¶ Bütün dik açıların birbirine eşit olması. ¶ Düz bir doğru iki düz doğru üzerine düşerse ve bir yandaki iki iç açı iki dik açıdan daha küçük olursa, o iki doğru bu yönde uzatıldıkları takdirde eninde sonunda kuşkusuz kesişecektir [Not: Bu, Öklid geometrisinin temeli olan meşhur "Paralellik Postulatı"dır]. ¶ İki düz doğrunun hiçbir yüzeyi kuşatmaması. Ortak Mefhumlar şunlardır: ¶ Bir ve aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittir. ¶ Ve eğer eşitlere eşitler eklenirse, bütünler de eşit olur. ¶ Ve eğer eşitlerden eşitler çıkarılırsa, kalanlar eşit olur. ¶ Ve eğer eşit olmayanlardan eşitleri çıkarırsan, kalanlar eşit olmaz. ¶ Ve eğer eşit olmayanlara eşitler eklersen, toplamlar da eşit olmaz. ¶ İki şey bir şeye eşitse, birbirlerine de eşit olurlar. ¶ Bir ve aynı şeyin yarısı olan iki şey varsa, her biri diğerine eşit olur. ¶ Bir şey diğerinin üzerine konur ve ona tatbik edilirse ve biri diğerini aşmazsa, birbirlerine eşit olurlar [Not: Bu, çakışma/üst üste binme ilkesine işaret eder]. ¶ Bütün, parçasından büyüktür. Bununla birlikte bilinmelidir ki, bu ortak mefhumların yahut "genel kabul gören bilgilerin" yanı sıra Öklid, sayıca kavranamayacak kadar çok olan başka birçok mefhumu dışarıda bırakmıştır, ki bunlardan biri şudur: ¶ Aynı türden herhangi bir üçüncü büyüklükle iki eşit büyüklük karşılaştırıldığında, her ikisi de o üçüncüden ya eşit derecede büyük, ya eşit derecede küçük ya da her ikisi de aynı anda eşit olacaktır. ¶ Bir diğeri de şudur: Sürekli büyüklüklerde, bir büyüklüğün aynı türden başka bir büyüklüğe oranı ne ise, herhangi bir üçüncü büyüklük de aynı türden bir dördüncüye aynı orana sahip olacaktır [Not: Sürekli büyüklükler, çizgiler veya düzlemler gibi fiziksel büyüklükleri ifade eder]; bu durum, öncüllerin ardıllardan büyük ya da küçük olmasına bakılmaksızın evrensel olarak doğrudur. Zira büyüklük sonsuza doğru küçülür. Sayılarda ise [Not: Ayrık büyüklükler veya tam sayılar] durum böyle değildir, fakat birincisi ikincisinin bir alt katıysa, herhangi bir üçüncü de bir dördüncünün eşit bir alt katı olacaktır; çünkü tıpkı büyüklüğün sonsuza doğru eksilmesi gibi, sayı da sonsuza doğru artar.

Önerme 1 Verilen bir doğru parçası üzerine bir eşkenar üçgen inşa etmek. ¶ Verilen doğru parçası a.b. olsun. Bunun üzerine bir eşkenar üçgen inşa etmek istiyorum. Uçlarından birine, a noktasına, pergelin sabit ayağını koyacağım; diğer hareketli ayağını ise b noktasına kadar açacağım; ve ikinci postulat uyarınca, verilen doğrunun uzunluğuna göre bir c.b.d.f. çemberi çizeceğim.

[Not: Aynı yarıçapa sahip kesişen iki çemberi gösteren geometrik bir çizim. Çemberlerin merkezleri 'a' ve 'b' olarak işaretlenmiştir. Kesişim noktaları 'f' (üstte) ve 'c' (altta) olarak işaretlenmiştir. 'a', 'b' ve 'f' noktaları birleştirilerek bir üçgen oluşturulmuştur. Dış yaylar sağdaki çemberde 'f', 'b' ve 'h', soldaki çemberde ise 'f', 'a' ve 'd' olarak etiketlenmiştir.]

[s. 7] ...yine, diğer ucu, yani B noktasını merkez yapacağım; ve aynı postulat [Not: özgün metin: Postulat 3'e atıfta bulunan "petitionem", yani herhangi bir merkez ve mesafe ile bir çember çizmek] uyarınca ve aynı miktara göre C.A.D.B. çemberini çizeceğim. Bu çemberler birbirini iki noktada kesecektir, bunlar C ve D olsun. İki kesişimden birini, örneğin D kesişimini, birinci postulat uyarınca D.A. ve D.B. doğrularını çizerek verilen doğrunun her iki ucuyla birleştireceğim. A.D. ve A.B. doğruları A noktasından (ki C.B.D. çemberinin merkezidir) çemberin çevresine çizildiğinden, çemberin tanımı gereği eşit olacaklardır. Benzer şekilde, B.A. ve B.D. doğruları B noktasından (ki C.A.D. çemberinin merkezidir) çemberin çevresine çizildiğinden, onlar da eşit olacaktır. Kanıtlandığı üzere A.D. ve B.D. doğrularının her biri A.B. doğrusuna eşit olduğundan, birinci ortak mefhum gereğince birbirlerine de eşit olacaklardır [Not: Ortak Mefhum 1: Aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittir.]. Dolayısıyla, verilen doğru üzerine bir eşkenar üçgen inşa etmiş olduk, ki teklif edilen de buydu.

¶ Bununla birlikte, eğer kişi aynı doğru üzerine geri kalan iki üçgen türünü, yani iki kenarı eşit olan üçgeni [Not: ikizkenar üçgen] ve üç kenarı eşit olmayan üçgeni [Not: çeşitkenar üçgen] inşa etmek isterse, A.B. doğrusu her iki çemberin çevresiyle F ve B gibi iki noktada buluşuncaya kadar her iki yönde uzatılsın [Not: Metin muhtemelen uzatmayla oluşan noktalara atıfta bulunmaktadır]. Doğrunun merkezi olarak A noktası alınarak, A.B. doğrusunun miktarına göre E.B.G. çemberi çizilir; aynı şekilde B noktası merkez alınarak, B.F. doğrusunun miktarına göre E.F.G. çemberi çizilir. Bu çemberler birbirini E ve G gibi iki noktada kesecektir. Dolayısıyla, verilen doğrunun uçları bu kesişimlerden biriyle iki doğru parçası, A.G. ve B.G. ile birleştirilsin. Bu A.B. ve A.F. doğruları C.D.F. çemberinin merkezinden çevresine uzandığından, eşit olacaklardır. Benzer şekilde, C.A.D.B. çemberinin merkezinden çevresine uzandıkları için A.B. ve B.B. [Not: muhtemelen çember üzerindeki başka bir nokta için yapılmış bir dizgi hatası] de eşit olacaktır. A.F. ve B.B. doğrularının her biri A.B. doğrusuna eşit olduğundan, birbirlerine de eşit olacaklardır. Dolayısıyla, A.B. ortak olmak üzere, B.F. de A.B.'ye eşit olacaktır. Fakat B.F., E.F.G. çemberinin merkezinden çevresine uzandığı için B.G.'ye eşittir. Benzer şekilde A.B., A.G.'ye eşittir ve B.F. ile A.B. doğrularının her biri A.B.'den büyük olduğu için bunların her biri de A.B.'den büyüktür [Not: Buradaki metin, iki kenarı tabandan daha uzun olan bir ikizkenar üçgenin inşasını tarif etmektedir]. Böylece, verilen doğru üzerine iki kenarı eşit bir üçgen inşa etmiş olduk.

¶ Aynı doğru üzerinde üç kenarı da birbirine eşit olmayan bir üçgen de inşa edeceğiz, iki büyük çemberden herhangi birinin çevresi üzerinde bulunan, iki kesişim noktasından hiçbirinde yer almayan ve F.B. doğrusu her iki yönde kesintisiz ve doğrusal olarak uzatıldığında onunla karşılaşmayan bir nokta alırsak ve bu noktayı verilen doğrunun her iki ucuyla iki doğru parçası aracılığıyla birleştirirsek. E.F.G. çemberinin çevresi üzerinde bir K noktası işaretlensin; bu nokta kesişim noktalarının hiçbirinde bulunmasın ve F.B. çemberin çevresine kadar kesintisiz uzatıldığında onunla karşılaşmasın. Böylece A.K. ve B.K. doğrularını çizeceğim. A.K. doğrusu E.B.G. çemberinin çevresini kesecektir; onu L noktasında kessin. B.K., A.L.'ye eşit olacaktır, zira B.K., B.G.'ye eşittir ve A.L. de A.G.'ye eşittir. Bu nedenle A.K., B.K.'den büyüktür, fakat B.K. de A.B.'den büyüktür. Böylelikle A.B.K. üçgeni, üç kenarı da birbirine eşit olmayan bir üçgendir. İşte bu yolla, verilen doğru üzerinde üçgenlerin bütün türlerini inşa etmiş olduk.

[Not: Geometrik bir şema, üç tür üçgenin inşasını göstermektedir. Merkezleri 'a' ve 'b' olan iki büyük çember birbiriyle kesişmektedir. Yatay bir doğru 'f', 'a' ve 'b' noktalarından geçmektedir. Çeşitli doğrular bu merkezleri, aralarında 'c', 'd', 'e', 'g', 'k' ve 'l' noktalarının da bulunduğu çevre noktalarına bağlayarak, 'ab' taban parçası üzerinde eşkenar, ikizkenar ve çeşitkenar üçgen inşalarını sergilemektedir.]

Önerme 2 Verilen bir noktadan, verilen herhangi bir doğruya eşit bir doğru çizmek.

A Verilen nokta A ve verilen doğru B.C. olsun. A noktasından, hangi yöne düşerse düşsün, B.C. doğrusuna eşit tek bir doğru çizmek istiyorum. Bu nedenle A noktasını, B.C. doğrusunun dilediğim ucuyla birleştireceğim. A noktasını C ucuyla A.C. doğrusu aracılığıyla birleştireceğim ve bunun üzerine önceki [önermenin] öğretisine göre bir eşkenar üçgen inşa edeceğim, bu da A.C.D. olacaktır. Verilen doğrunun verilen noktayla birleştirdiğim ucuna, yani C ucuna, pergelin sabit ayağını koyacağım ve onun üzerinde, verilen doğrunun kendi miktarına göre bir çember tarif edeceğim, bu da E.B. çemberi olacaktır...

[Not: Önerme 2'ye ait geometrik bir şema, merkezi 'c' ve yarıçapı 'cb' olan bir çemberi göstermektedir. Bir 'a' noktası 'c' noktasına bağlanmış ve doğru 'f' yönünde uzatılmıştır. Bu, 'bc' doğrusunun uzunluğunu 'a' noktasından başlayacak biçimde taşımaya yönelik ilk adımları temsil eder.]

[Not: Sayfanın altındaki "a 3" işareti, erken dönem matbaacıları tarafından ciltçilerin bir kitabın sayfalarını doğru sırada birleştirmelerine yardımcı olmak için kullanılan bir "forma işareti"dir.]

[s. 8] ...verilen noktanın karşısında bulunan eşkenar üçgenin [Not: Bu, önceki sayfada Önerme 2'nin ilk kısmında inşa edilen üçgene atıfta bulunmaktadır.] kenarını, yani D.C. kenarını, tarif edilen çemberin merkezinden geçerek çevresine varıncaya dek uzatacağım; böylece uzatılan doğrunun tamamı D.C.E. olsun, bunun uzunluğuna göre merkezi D noktasında olan bir çember tarif edeceğim, bu da E.F. çemberi olacaktır. Bundan sonra, D.A. kenarını bu son çemberin çevresine varıncaya dek uzatacağım ve onun çevresiyle F noktasında buluşsun. O halde A.F.'nin B.C.'ye eşit olduğunu söylüyorum. Zira B.C. ve C.E. birbirine eşittir, çünkü C.B. çemberinin merkezinden çevresine uzanırlar. Benzer şekilde D.F. ve D.E. de birbirine eşittir, çünkü E.F. çemberinin merkezinden çevresine uzanırlar. Fakat D.A. ve D.C. de birbirine eşittir, çünkü bunlar bir eşkenar üçgenin kenarlarıdır. Dolayısıyla, eşit olan D.A. ve D.C. kısımları (yine birbirine eşit olan) D.E. ve D.F.'den çıkarılırsa, geriye kalan A.F. ve C.E. kısımları birbirine eşit olacaktır. Hem A.F. hem de C.B. doğruları C.E.'ye eşit olduğundan, birbirlerine de eşittirler. Böylece A noktasından, B.C.'ye eşit bir A.F. doğrusu çizmiş olduk, ki gösterilmek istenen de buydu.

[Not: Kesişen iki çemberi ve bir üçgeni gösteren geometrik bir şema. Bir d-c-e doğrusu, büyük çemberin merkezi d'den küçük çemberin merkezi c'den geçerek uzanmaktadır. Çemberlerin üst üste bindiği alanın içine bir a-b-d üçgeni inşa edilmiştir.]

Önerme 3 [Not: İki paralel doğruyu, a-b ve c-d'yi gösteren bir şema. Merkezi c noktasında olan bir çember, a-b doğrusuna eşit bir yarıçapa sahiptir ve c-d doğrusunu f noktasında kesmektedir.]

Birbirine eşit olmayan iki doğru verildiğinde, daha uzun olanından daha kısa olana eşit bir parça kesip ayırmak. İki doğru A.B. ve C.D. olsun ve A.B. daha kısa olanı teşkil etsin. C.D.'den, A.B.'ye eşit olan bir doğru kesmek istiyorum. Önce C noktasından, bir önceki önermede öğretilen yöntemi kullanarak A.B.'ye eşit tek bir doğru çizerim; bu C.E. olsun. Ardından, merkezi C noktasına koyarak, C.E.'nin uzunluğuna göre C.D. doğrusunu kesecek bir çember tarif edeceğim. Onu F noktasında kessin. C.F. doğrusu C.E. doğrusuna eşit olacaktır, çünkü her ikisi de aynı çemberin merkezinden çevresine uzanmaktadır. Hem A.B. hem de F.C. doğruları C.E.'ye eşit olduğundan, birbirlerine de eşittirler; ki gösterilmek istenen de buydu.

Önerme 4 [Not: İki şema grubu. Birincisi, birbirinin tıpatıp aynısı iki üçgeni, a-b-c ve d-e-f'yi göstermektedir. İkincisi, eş üçgenler için üst üste koyma yoluyla yapılan ispatı açıklamakta kullanılan ve a, b, c, e, f, g ve h noktalarını içeren karmaşık bir üçgensel inşayı göstermektedir.]

**Birbirinin ikişer kenarı eşit olan ve bu eşit kenarların çevrelediği ikişer açısı da birbirine eşit bulunan iki üçgenin söz konusu olduğu her durumda, birbirine karşılık gelen kalan kenarlar da eşit olacak, birinin kalan açıları diğerinin kalan açılarına eşit olacak ve üçgenin tamamı da diğer üçgenin tamamına eşit olacaktır.** A.B.C. ve D.E.F. şeklinde iki üçgen olsun, A.B. kenarı D.E. kenarına, A.C. kenarı D.F. kenarına ve A açısı da D açısına eşit bulunsun. Bu durumda B.C. tabanının E.F. tabanına, B açısının E açısına ve aynı şekilde C açısının da F açısına eşit olduğunu söylerim. Bu şöyle kanıtlanır: A açısı D açısının, A.B. kenarı D.E. kenarının ve A.C. kenarı da D.F. kenarının üzerine gelecek biçimde A.B.C. üçgenini D.E.F. üçgeninin üzerine çakıştıracağım. Sondan bir önceki ortak mefhum [Not: özgün metinde: "penultimā pceptionē"; bu, Öklid'in 4. Ortak Mefhumu'na göndermedir: "Birbiriyle çakışan şeyler birbirine eşittir."] uyarınca açıların da kenarların da birbirini aşmayacağı açıktır, zira A açısı D açısına eşittir ve kenarlar varsayım gereği eşit oldukları kenarların üzerine yerleştirilmiştir. Dolayısıyla B ve C noktaları E ve F noktalarının üzerine gelecektir. Şayet B.C. doğrusu tam olarak E.F. doğrusunun üzerine düşerse önerme açıklık kazanır; zira B.C. doğrusu E.F. doğrusunun üzerine konduğunda ve hiçbiri diğerini aşmadığında, sondan bir önceki ortak mefhumun karşıtı uyarınca birbirlerine eşit olurlar. Aynı akıl yürütmeyle B açısı E açısına ve C açısı da F açısına eşit olacaktır. Ne var ki B.C. doğrusu E.F. doğrusunun üzerine düşmeyip de üçgenin içine (E.G.F. doğrusu gibi) ya da dışına (E.H.F. doğrusu gibi) düşerse, bu durumda iki doğru çizgi bir yüzeyi çevrelemiş olur ki bu da son postulatın [Not: özgün metinde: "ultimā petitionē"; erken dönem baskılarda, iki doğru çizginin bir alanı çevreleyemeyeceği ilkesi sıklıkla bir postulat veya ortak mefhum olarak listelenirdi.] hilafınadır.

Önerme 5 [Not: Bir a-b-c ikizkenar üçgeni şeması. a-b ve a-c kenarları aşağıya doğru d ve e noktalarına kadar uzatılmıştır. Doğrular b'den e'ye ve c'den d'ye çapraz geçerek b-c tabanının altında daha büyük üçgen bir yapı oluşturur.]

İki kenarı birbirine eşit olan her üçgende [Not: ikizkenar bir üçgen], tabandaki açıların birbirine eşit olması zorunludur; şayet bu iki eşit kenar uzatılırsa tabanın altındaki iki açı da birbirine eşit olacaktır. A.B. kenarı A.C. kenarına eşit olan bir A.B.C. üçgeni olsun. A.B.C. açısının A.C.B. açısına eşit olduğunu söylerim; şayet A.B. ve A.C. doğruları D ve E noktalarına kadar uzatılırsa...

[s. 9] ...d.b.c. açısı e.c.b. açısına eşit kılınacaktır ki bu şöyle kanıtlanır: a.b. ve a.c. uzatıldıktan sonra, üçüncü [önerme] uyarınca a.d. doğrusunu a.e. doğrusuna eşit kılacağım ve e.b. ile d.c. doğrularını çizeceğim. Ve eşit, eşkenar [Not: özgün metinde: "equilateros"; bu bağlamda, üçgenlerin kendilerinin üçer kenarının eşit olduğu değil, iki üçgenin karşılıklı kenarlarının eşit olduğu kastedilmektedir] ve eş açılı olduğunu kanıtlayacağım a.b.e. ve a.c.d. gibi iki üçgen varsayıyorum. Zira a.b.e. üçgeninin iki kenarı a.b. ve a.e., a.c.d. üçgeninin iki kenarı a.c. ve a.d.'ye eşittir ve a açısı her ikisi için de ortaktır; bu nedenle, önceki [önerme] uyarınca b.e. tabanı c.d. tabanına eşittir, e açısı d açısına eşittir ve a.b.e. açısı a.c.d. açısına eşittir. Benzer biçimde d.b.c. ve e.c.b. gibi iki üçgen varsayıyorum ve bunların da aynı şekilde eşkenar ve eş açılı olduğunu kanıtlayacağım; zira b.d.c. üçgeninin iki kenarı d.b. ve d.c., e.c.b. üçgeninin iki kenarı e.c. ve e.b.'ye eşittir ve d açısı da e açısına eşittir. Bu nedenle, önceki önerme uyarınca taban tabana ve kalan açılar da kalan açılara eşittir. Böylece d.b.c. açısı e.c.b. açısına eşittir ve bu durum önermeye uygundur, yani tabanın altındaki açılar eşittir. Ve b.c.d. açısı e.b.c.'ye eşittir, oysa yukarıda kanıtlandığı üzere a.b.e.'nin tamamı a.c.d.'ye eşittir. Dolayısıyla geriye kalan a.b.c. açısı geriye kalan a.c.b. açısına eşittir ki bu da tabanın üzerindedir; ileri sürülen ilk kısım da buydu.

[Not: Bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açıların eşitliğinin kanıtını gösteren geometrik bir şema (Öklid'in Elemanlar'ı, 1. Kitap, Önerme 5). Kenarları ab ve ac uzatılmış bir abc ikizkenar üçgeni gösterilmektedir. Uzantılar üzerindeki d ve e noktalarını karşı taban köşelerine bağlayan yardımcı doğrular, üst üste binen iki büyük üçgen oluşturur.]

Önerme 6 Herhangi bir üçgenin iki açısı eşitse, bu açıları gören [Not: özgün metinde: "respicientia"; harfi harfine 'bakan' veya 'karşısında duran'] iki kenar da birbirine eşit olacaktır. Bu, ilk kısmı bakımından önceki [önermenin] karşıtıdır. Nitekim iki açısı b ve c birbirine eşit olan bir a.b.c. üçgeni olsun. a.b. kenarının a.c. kenarına eşit olduğunu söylerim. Şayet eşit değillerse, bunlardan biri diğerinden daha büyük olacaktır. a.b. daha büyük olan olsun; fazlalık a tarafından kalacak şekilde, üçüncü önerme uyarınca a.c.'ye eşit olacak biçimde kesilsin ve d noktasından kesilmiş olsun; b.d. doğrusu a.c.'ye eşit olsun ve d.c. doğrusunu çizeyim. Böylece eşkenar ve eş açılı olduklarını kanıtlayacağım a.b.c. ve d.b.c. gibi iki üçgen varsayıyorum. Zira d.b.c. üçgeninin iki kenarı d.b. ve b.c., a.b.c. üçgeninin iki kenarı a.c. ve b.c.'ye eşittir ve varsayım gereği b açısı c açısının tamamına eşittir. Dolayısıyla d.c. tabanı b.a. tabanına eşittir ve d.c.b. açısı a.c.b. açısına, yani bir parça bütününe eşit olur ki bu imkânsızdır [Not: Bu, olmayana ergi yoluyla bir kanıttır: Bir parça bütüne eşit olamaz, bu nedenle kenarların eşit olmadığı yönündeki ilk varsayım yanlış olmalıdır.].

[Not: Önerme 6 için, olmayana ergi kanıtında kullanılan ve ab kenarı üzerindeki bir iç d noktasının c köşesine bağlandığı bir abc üçgenini gösteren geometrik bir şema.]

Önerme 7 Bir doğruyu sonlandıran iki noktadan, tek bir noktada kesişen iki doğru çizilirse; aynı tarafta ve aynı noktalardan, sırasıyla ilk iki doğruya eşit olan ve başka bir noktada kesişen iki başka doğrunun çizilmesi imkânsızdır. Uç noktalarından aynı tarafa doğru çizilen ve c noktasında kesişen a.c. ve b.c. gibi iki doğrunun bulunduğu bir a.b. doğrusu olsun. Diyorum ki aynı tarafta, aynı uç noktalardan başka bir noktada kesişecek şekilde iki başka doğru çizilemez öyle ki a noktasından çıkan doğru a.c. doğrusuna, b noktasından çıkan doğru ise b.c. doğrusuna eşit olsun. Zira bu mümkün olsaydı, aynı tarafta d noktasında kesişen iki başka doğru çizilsin ve a.d. doğrusu a.c. doğrusuna, b.d. doğrusu da b.c. doğrusuna eşit olsun. Dolayısıyla d noktası ya üçgenin içine ya da dışına düşecektir; çünkü a.c. veya b.c. kenarlarının hiçbiri üzerine düşemez, zira aksi takdirde bir parça kendi bütününe eşit olurdu. Fakat dışarı düşerse, a.d. ve b.d. doğrularından biri a.c. ve b.c. doğrularından birini ya kesecektir ya da hiçbiri diğerini kesmeyecektir. Önce biri diğerini kessin ve c.d. doğrusu çizilsin. a.c.d. üçgeninin a.c. ve a.d. kenarları eşit olduğundan, beşinci [önerme] uyarınca a.c.d. açısı a.d.c. açısına eşit olacaktır. Benzer şekilde, b.c.d. üçgeninde b.c. ve b.d. kenarları eşit olduğundan, b.c.d. ve b.d.c. açıları [eşit] olacaktır...

[Not: Önerme 7 için, üzerinde iki ayrı c ve d noktası bulunan bir ab taban doğrusunu gösteren geometrik bir çizim. a ve b uç noktalarından hem c hem de d noktasına doğrular çizilmiş ve iki tepe noktası arasına cd birleştirme doğrusu çekilmiştir.]

[s. 10] [Not: Sol kenar boşluğunda dikey olarak sıralanmış dört geometrik çizimden oluşan bir dizi. 1. Yan yana iki üçgen. Soldaki üçgenin köşeleri a, b, c olarak etiketlenmiş ve merkezinde bir nokta var. Sağdaki üçgenin köşeleri d, e, f olarak etiketlenmiş. 2. Kesişen yardımcı doğrularla ortak bir tepe noktasını paylaşan iki üçgeni gösteren bir çizim. Köşeler a, b, d, e, f, g olarak etiketlenmiş. 3. Ortak bir taban üzerindeki iki üçgen tarafından oluşturulmuş bir eşkenar dörtgen veya uçurtma biçimli şekil. Köşeler a, b, c, d olarak etiketlenmiş. 4. a, b, c olarak etiketlenmiş, c tepe noktasından tabandaki d noktasına bir dikme indirilmiş ikizkenar bir üçgen.]

Benzer şekilde, aynı [önerme] gereğince bunlar eşittir; ve b.d.c. açısı a.d.c. açısından büyük olduğundan, b.c.d. açısının a.c.d. açısından daha büyük olduğu sonucu çıkar, bir parçanın bütünden [daha büyük olması], bu ise imkânsızdır. [Not: Bu, bütünün her zaman parçalarından herhangi birinden daha büyük olduğunu belirten yaygın matematiksel aksiyoma atıfta bulunur.] Şayet d noktası a.b.c. üçgeninin dışına doğrular kesişmeyecek şekilde düşerse, d.c. doğrusunu çizeceğim ve b.d., a.d. ile b.c. doğrularını tabanın altına, f ve e noktalarına kadar uzatacağım. a.d. ve a.c. doğruları eşit olduğundan, beşinci [önerme] uyarınca a.c.d. ve a.d.c. açıları eşit olacaktır. Aynı şekilde, b.c. ve b.d. eşit olduğundan, tabanın altındaki açılar, yani c.d.f. ve d.c.e., aynı [önermenin] ikinci kısmı gereğince eşit olacaktır. Dolayısıyla e.c.d. açısı a.c.d. açısından daha küçük olduğundan, f.d.c. açısının a.d.c. açısından daha küçük olduğu sonucu çıkar, bu ise imkânsızdır. Aynı yolla, d noktası a.b.c. üçgeninin içine düştüğünde de muarız [Not: Karşıt bir savı ya da imkânsız bir geometrik durumu öne süren kişi için kullanılan retorik bir terim.] bir saçmalığa sürüklenir, ve bu böyle sürer.

Önerme 8 Birinin iki kenarı diğerinin iki kenarına ve birinin tabanı diğerinin tabanına eşit olan herhangi iki üçgende, eşit kenarların çevrelediği iki açının da eşit olması zorunludur. ¶ a.b.c. ve d.e.f. gibi iki üçgen olsun; a.c. kenarı d.f. kenarına, b.c. kenarı e.f. kenarına ve a.b. kenarı d.e. kenarına eşit olsun. Diyorum ki c açısı f açısına, a açısı d açısına ve b açısı e açısına eşittir. a.b. tabanını d.e. tabanının üzerine çakıştıracağım; birbirlerine eşit olduklarından, sondan bir önceki ortak mefhum uyarınca biri diğerini aşmayacaktır. [Not: özgün metinde: "conceptionem"; Öklid'in Ortak Mefhumlarına, özellikle de birbiriyle çakışan şeylerin birbirine eşit olduğuna atıfta bulunmaktadır.] Dolayısıyla c noktası ya f noktasının üzerine düşecek ya da düşmeyecektir. Eğer düşerse, c açısı f açısıyla çakışacağından ve biri diğerini aşmayacağından, zikredilen mefhumun tersi gereğince birbirlerine eşittirler. Benzer şekilde geriye kalan açıların da eşit olduğunu kanıtla. Şayet c noktası f üzerine değil de başka herhangi bir nokta üzerine düşerse, bu nokta g olsun. e.g. kenarı b.c. kenarına eşit olduğundan (gerçekte aynıdır) ve benzer şekilde d.g. kenarı a.c. kenarına eşit olduğundan, e.g. kenarı e.f. kenarına ve d.g. kenarı d.f. kenarına eşit olacaktır, bu ise önceki [önerme] uyarınca imkânsızdır.

Önerme 9 Verilen bir açıyı iki eşit parçaya bölmek. ¶ Bölünmesi gereken verilen açı a.b.c. açısı olsun. Üçüncü [önerme] gereğince onu çevreleyen a.b. ve b.c. doğrularını eşit kılacağım ve a.c. doğrusunu çizeceğim, bunun üzerine bir a.d.c. eşkenar üçgeni inşa edeceğim ve b.d. doğrusunu çizeceğim. Diyorum ki bu doğru, verilen açıyı iki eşit parçaya böler. a.b.d. ve c.b.d. gibi iki üçgen tasavvur ediyorum. a.b.d. üçgeninin a.b. ve b.d. kenarları c.b.d. üçgeninin c.b. ve b.d. kenarlarına eşit olduğundan ve a.d. tabanı c.d. tabanına eşit olduğundan, önceki [önerme] uyarınca a.b.d. açısı c.b.d. açısına eşittir, yapılması teklif edilen de buydu.

Önerme 10 Verilen bir doğru parçasını iki eşit parçaya bölmek. ¶ Eşit parçalara bölünmesi gereken verilen doğru a.b doğrusu olsun. Bunun üzerine bir a.b.c eşkenar üçgeni inşa edeceğim ve c açısını önceki [önermenin] öğretisine göre c.d doğrusuyla iki eşit parçaya böleceğim. c.d doğrusunun verilen a.b doğrusunu iki eşit parçaya böldüğünü söylüyorum. Zira a.c.d ve b.c.d gibi iki üçgen tasavvur ederim ve şöyle akıl yürütürüm: a.c.d üçgeninin iki kenarı olan a.c ve c.d, b.c.d üçgeninin iki kenarı olan b.c ve c.d'ye eşittir ve birinin c açısı diğerinin c açısına eşittir; dolayısıyla, dördüncü [önerme] uyarınca, a.d tabanı d.b tabanına eşittir, ki bu da öne sürülen şeydir.

[s. 11] [Not: Sağ kenar boşluğunda dikey olarak sıralanmış dört geometrik çizim bulunmaktadır: 1. Tabandaki köşeleri a ve b, tepe noktası d olarak işaretlenmiş bir ikizkenar üçgen. Tepe noktasından tabanın orta noktasına dikey bir dc doğrusu çizilmiştir; bu, bir dik doğrunun inşasını göstermektedir. 2. Doğrunun dışındaki bir a noktasından dikme indirmek için kullanılan bir çember. Merkezi a olan çember, yatay bir bc kirişini keser. Dikey bir ad doğrusu merkezi kirişe bağlar. 3. Önerme 13 için c, b ve d noktalarını içeren yatay bir doğruyu gösteren çizim. b noktasından yukarı doğru uzanan iki doğru ba ve be, toplamı iki dik açıya eşit olan açıları gösterir. 4. Önerme 14 için yatay bir cb doğru parçası içeren çizim. b noktasından dışarı doğru yayılan birden fazla doğru (ba, be, bd ve bf), iki doğrunun hangi koşullar altında tek bir doğru oluşturduğunu gösterir.]

Verilen bir doğru üzerinden ve üzerinde işaretlenmiş bir noktadan, her iki yanında iki eşit ve dik açıyla desteklenen dik bir doğru çizmek. a.b verilen doğru olsun ve üzerinde kendisinden bir dikme çizilmesi gereken bir c noktası bulunsun. Dolayısıyla, üçüncü [önerme] uyarınca b.c doğrusunu a.c doğrusuna eşit kılacağım ve bütün a.b [parçası] üzerine a.b.d eşkenar üçgenini inşa edeceğim. Ardından c.d doğrusunu çizerim ki bunun kendisinin a.b doğrusuna dik olduğunu söylüyorum. a.c.d ve b.c.d üçgenlerini ele alırım; a.c.d üçgeninin a.c ve c.d kenarları c.b.d üçgeninin c.b ve c.d kenarlarına eşit olduğundan ve a.d tabanı b.d tabanına eşit olduğundan, sekizinci [önerme] uyarınca a.c.d açısı b.c.d açısına eşit olacaktır. Dolayısıyla, dik açının tanımı gereğince bunların her biri bir dik açı olacaktır; c.d doğrusu da dik doğrunun tanımı gereğince a.b doğrusuna diktir; ki bu da öne sürülen şeydir.

Önerme 12 Belirsiz uzunluktaki verilen bir doğrunun dışında işaretlenmiş bir noktadan dikme indirmek. Verilen b.c doğrusunun dışındaki işaretlenmiş nokta a olsun ve bu noktadan o doğruya bir dikme indirilmesi gereksin. Dolayısıyla b.c doğrusunu her iki yönde dilediğim kadar uzatacağım ve a noktası üzerinde, verilen doğruyu b ve c noktalarında kesecek şekilde bir b.c çemberi [Not: özgün metinde: b ve c noktalarından geçen çembere atıfla "circulū.b.c."] çizeceğim. Ardından a.b ve a.c doğrularını çizerim ve b.a.c açısını dokuzuncu [önerme] uyarınca a.d doğrusuyla iki eşit parçaya bölerim. a.d'nin b.c doğrusuna dik olduğunu söylüyorum. a.b.d ve a.c.d üçgenlerini ele alırım; a.b.d üçgeninin a.b ve a.d kenarları a.c.d üçgeninin a.c ve a.d kenarlarına eşit olduğundan ve birinin a açısı diğerinin a açısına eşit olduğundan, dördüncü [önerme] uyarınca b.d tabanı d.c tabanına eşit olacak ve a.d.b açısı a.d.c açısına eşit olacaktır. Dolayısıyla, her biri bir dik açıdır ve dik açının ve dik doğrunun tanımı gereğince a.d doğrusu b.c doğrusuna diktir; ki bu da öne sürülen şeydir.

Önerme 13 Bir doğru üzerinde duran her doğru için, iki taraftaki iki açı ya dik açıdır ya da iki dik açıya eşittir. a.b doğrusu c.d doğrusu üzerinde duruyor olsun. Şayet ona dik olsaydı, tanımın karşıtı gereğince iki dik açı meydana getirirdi. Fakat şayet ona dik değilse, b noktasından c.d'ye on birinci [önerme] uyarınca b.e dikmesi çizilsin. e.b.c ve e.b.d açıları tanımın karşıtı gereğince dik açılar olacaktır. Dolayısıyla, d.b.a ve a.b.e açıları d.b.e açısına eşit olduğundan, bunlar c.b.e açısıyla birlikte iki dik açıya eşit olacaktır. Dolayısıyla, d.b.a, a.b.e ve c.b.e olan üç açı iki dik açıya eşittir. Fakat c.b.a açısı c.b.e ve e.b.a açılarına eşittir. Dolayısıyla, c.b.a ve a.b.d açıları iki dik açıya eşittir; ki bu da öne sürülen şeydir. Buradan açıkça anlaşılır ki herhangi bir düzlem yüzeyde herhangi bir noktayı çevreleyen bütün alan dört dik açıya eşittir.

Önerme 14 Bir doğru üzerindeki bir noktadan farklı yönlere iki doğru çıkarsa ve bunlar çevrelerindeki iki açıyı ya dik açı ya da iki dik açıya eşit kılarsa, bu iki doğru birbirine doğrusal olarak bağlanır ve tek bir doğru oluşturur. a.b doğrusunun b noktasından zıt yönlerde b.c ve b.d olmak üzere iki doğrunun çıktığını ve c.b.a ile d.b.a olan iki açıyı iki dik açıya eşit kıldığını varsayalım. O halde c.b ve d.b doğrularının birbirine doğrusal olarak bağlandığını ve tek bir doğru olduğunu söylerim. Zira bu önceki [önermenin] tersi gibidir; şayet tek bir doğru olmasalardı, c.b kesintisiz ve düz bir doğrultuda uzatılsın; d.b ile tek bir doğru olmadığından, onun ya yukarısından b.e olarak ya da aşağısından b.f olarak geçecektir. Dolayısıyla a.b doğrusu c.b.e olan düz doğrunun üzerine düştüğü için, c.b.a ve e.b.a açıları önceki [önerme] uyarınca iki dik açıya eşit olacaktır. Ve üçüncü postulat uyarınca bütün dik açılar birbirine eşit olduğundan, varsayım gereği c.b.a ve d.b.a açıları da iki dik açıya eşit kılındığından, c.b.a ve e.b.a olan iki açı, c.b.a ve d.b.a olan iki açıya eşit olacaktır. Dolayısıyla ortak açı olan c.b.a çıkarıldığında, e.b.a açısı... açısına eşit olacaktır

[s. 12] [Not: Sol kenar boşluğunda, metindeki önermelere karşılık gelen beş geometrik diyagram dikey olarak sıralanmıştır: 1. "X" biçimi oluşturan, birbiriyle kesişen iki düz doğru. Uç noktaları a, c, b ve d olarak, kesişim noktası ise e olarak etiketlenmiştir. 2. Bir üçgeni (a, b, c) içeren karmaşık bir geometrik çizim. ac kenarı e noktasında iki eşit parçaya bölünmüştür. b'den çıkan bir doğru, e noktasından geçerek bir f noktasına uzanır. Diğer bir çizim a, b, c köşelerine ve bir g iç noktasına sahip bir üçgeni, çeşitli etiketli noktalara (h, k) uzanan doğrularla gösterir. 3. a, b, c köşelerine sahip bir üçgen. bc taban doğrusu bir d noktasına uzatılmıştır. 4. a, b, c köşelerine sahip bir üçgen. bc taban doğrusu bir d noktasına uzatılmıştır ve a'dan tabana dik görünen bir doğru inmektedir. 5. a, b, c köşelerine sahip bir üçgen. bc kenarı üzerinde bir d noktası işaretlenmiştir ve a'dan d'ye bir doğru çizilerek büyük üçgenin içinde iki daha küçük üçgen oluşturulmuştur.]

[Not: özgün metin: "ps toti: quod ē ipossibile"] parça bütüne [eşit olurdu], ki bu imkânsızdır [Not: Bu, Öklid geometrisinde temel bir "Ortak Kavram"dır: Bütün daima parçadan büyüktür.]; benzer şekilde, şayet bir hasım uzatılan .c.b. doğrusunun .b.d. içine düştüğünü söyleyecek olursa, .c.b. doğrusu uzatıldığında .d.b.a. açısının .f.b.a. açısına eşit olduğunu kanıtlayacaksınız.

Önerme 15.

Birbiriyle kesişen herhangi iki doğru için, birbiriyle karşılıklı duran açıların tümü eşittir; buradan açıktır ki, iki düz doğru birbiriyle kesiştiğinde oluşan dört açı, dört dik açıya eşittir. ¶ .e. noktasında birbiriyle kesişen iki .a.b. ve .c.d. doğrusu olsun. .d.e.b. açısının .a.e.c. açısına, .b.e.c. açısının da .a.e.d. açısına eşit olduğunu söylerim. Zira 13. [önerme] uyarınca .a.e.c. ve .c.e.b. olan iki açı iki dik açıya eşit olacaktır; aynı şekilde, aynı [önerme] uyarınca .c.e.b. ve .d.e.b. olan iki açı da iki dik açıya eşittir; bu sebeple, 4. talep [Not: 4. "talep" veya Postulat: Bütün dik açılar birbirine eşittir.] gereğince bütün dik açılar birbirine eşit olduğundan, ilk ikisi son ikisine eşittir; dolayısıyla ortak açı olan .c.e.b. çıkarıldığında, .a.e.c. açısı .d.e.b. açısına eşit olacaktır. Aynı biçimde, .c.e.b. açısının .a.e.d. açısına eşit olduğu kanıtlanacaktır, ki bu da öne sürülen şeydi.

Önerme 16

Bir üçgenin kenarlarından herhangi biri doğrudan uzatılırsa, üçgenin karşısındaki iç açılardan herhangi birinden daha büyük bir dış açı oluşturur. ¶ .a.b.c. üçgeninin .a.b. kenarının .d.'ye kadar uzatıldığını varsayalım: .d.b.c. açısının, karşısındaki iki iç açı olan .b.a.c. ve .b.c.a. açılarının her birinden daha büyük olduğunu söylerim. Zira 10. [önerme] uyarınca .c.b. doğrusunu .e. noktasında iki eşit parçaya böleceğim ve .e.f., .a.e.'ye eşit kılınacak biçimde .a.e.'yi .f.'ye kadar uzatacağım ve .f.b. doğrusunu çizeceğim. .c.e.a. ve .b.e.f. olan iki üçgeni ele alıyorum; ve .a.e.c. üçgeninin .a.c. [Not: Metin muhtemelen .a.e. ve .e.c. demek istemiştir] ve .e.c. olan iki kenarı, .f.e.b. üçgeninin .f.e. ve .e.b. olan iki kenarına eşit olduğundan ve karşılıklı açılar oldukları için önceki [önerme] gereğince birinin .e. açısı diğerinin .e. açısına eşit olduğundan; 4. [önerme] uyarınca .e.c.a. açısı .e.b.f. açısına eşit olacaktır ve dolayısıyla .e.b.d. açısı .b.c.a. açısından daha büyük olacaktır. Benzer şekilde, onun .c.a.b. açısından da daha büyük olduğu kanıtlanacaktır. Zira 10. [önerme] uyarınca .a.b.'yi .g. noktasında iki eşit parçaya bölelim ve 3. [önerme] uyarınca .c.g. doğrusuna eşit bir g.b. [Not: Şema mantığına göre muhtemelen .g.h.] doğrusu uzatacağım; ardından .b.k.'yi çizeceğim ve .a.g.c. ile .b.g.h. [Not: OCR .b.g.b. olarak okumaktadır] olan iki üçgen ortaya çıkacaktır; birincinin .a.g. ve .g.c. olan iki kenarı, ikincinin .b.g. ve .g.h. olan iki kenarına eşittir; ve 15. [önerme] uyarınca birinin .g. açısı diğerinin .g. açısına [eşittir]; bu sebeple, 4. [önerme] uyarınca .g.c.a. açısı .g.b.h. açısına eşittir ve dolayısıyla 15. [önerme] gereğince .k.b.d. açısına da eşittir; ve .c.b.d. açısı .k.b.d. açısından daha büyük olduğu için, .b.a.c. açısından da daha büyük olacaktır, ki bu da öne sürülen şeydi.

Önerme 17.

Her üçgende, herhangi iki açı [birlikte] iki dik açıdan küçüktür. ¶ Bir .a.b.c. üçgeni olsun. Bunun herhangi iki açısının iki dik açıdan küçük olduğunu söylüyorum, zira kenarlarından biri, örneğin .b.c., .d. noktasına kadar uzatılsın; önceki [önerme] uyarınca dış açı .c. [Not: OCR metninde .e. okunmaktadır.], .a. açısından büyük ve .b. açısından büyük olacaktır. Fakat 13. [önerme] gereğince dış [açı] .c. ile iç [açı] .c. birlikte iki dik açıya eşittir; dolayısıyla iç açılar .b. ve .c. ya da iç açılar .a. ve .c., iki dik açıdan küçüktür; benzer şekilde, şayet .b.a. kenarı uzatılırsa, .a. ve .b. açılarının iki dik açıdan küçük olduğu kanıtlanacaktır, ki bu da ileri sürülmüş olandır.

Önerme 18.

Her üçgende, daha uzun olan kenar daha büyük olan açının karşısındadır. ¶ .a.b.c. üçgeninde .a. açısı .c. açısından büyük olsun. .c.b. kenarının .a.b. kenarından daha büyük olacağını söylüyorum. Zira şayet eşit olsalardı, 5. [önerme] gereğince .a. açısı .c. açısına eşit olurdu ki bu varsayıma [aykırıdır]; fakat şayet .a.b. daha büyük olsaydı, 3. [önerme] gereğince .c.b. kenarına eşit olacak şekilde kısaltılsın ve .d.b., .c.b. kenarına eşit olsun. Dolayısıyla 5. [önerme] gereğince .d.c.b. açısı .b.d.c. açısına eşit olacaktır; fakat 16. [önerme] gereğince .b.d.c., .b.a.c. açısından büyüktür; bu yüzden .b.c.d., .b.a.c. açısından büyüktür; bundan ötürü, çok daha güçlü bir biçimde .a.c.b. [büyüktür], [Not: özgün metin: "ps toto: quod ē ipossibile"] parçanın bütüne [eşit olması] ise imkânsızdır.

Önerme 19.

[s. 13] [Not: Sağ kenar boşluğu, ana metindeki önermelere karşılık gelen üç geometrik çizim içermektedir: 1. (Önerme 20 ile ilgili) Köşeleri a, b, c olarak harflendirilmiş bir üçgen. ba kenarı yukarıya doğru bir d noktasına kadar uzatılmıştır. Bir doğru d noktasını c noktasına birleştirerek bir dış bdc üçgeni oluşturur. 2. (Önerme 21 ile ilgili) İçinde bir d noktası barındıran bir abc üçgeni. bd ve dc doğruları taban köşelerini bu noktaya birleştirir. bd doğrusu daha da uzatılarak ac kenarıyla bir e noktasında kesişir. 3. (Önerme 22 ile ilgili) Bu çizimin tepesinde, farklı uzunluklarda a, b ve c olarak harflendirilmiş üç yatay doğru parçası yer alır. Bunların altında, karmaşık bir çizim d-f-g-h yatay doğrusunu gösterir. Birbiriyle kesişen iki çember çizilmiştir: biri fd yarıçapıyla f merkezli, diğeri gh yarıçapıyla g merkezli. Doğrunun üzerinde kalan kesişim noktaları k olarak harflendirilmiştir. Çemberlerin kesişimi içinde bir fkg üçgeni oluşur.]

Her üçgende, daha uzun olan kenar daha büyük olan açının karşısındadır. ¶ .a.b.c. üçgeninde olduğu gibi, .b.c. kenarı .a.b. kenarından daha büyük olsun. .a. açısının .c. açısından daha büyük olacağını söylüyorum. Bu, önceki önermenin karşıtıdır [Not: "Önceki önerme" Önerme 18'e atıfta bulunmaktadır.]. Zira şayet eşit olsaydı, Önerme 6 gereğince .a.b. kenarı .b.c. kenarına eşit olurdu ki bu varsayıma aykırıdır. Şayet .c. açısı daha büyük olsaydı, önceki [önerme] gereğince .a.b. kenarı .b.c. kenarından daha büyük olurdu ki bu da varsayıma aykırıdır; bundan ötürü önerme kanıtlanmıştır.

Propositio 20.

Her üçgende, birbirine eklenen herhangi iki kenar, geriye kalan kenardan daha uzundur. ¶ Bir .a.b.c. üçgeni olsun. .a.b. ve .a.c. kenarlarının toplamının .b.c. kenarından daha uzun olduğunu söylüyorum. .b.a. doğrusunu, .a.d., .a.c. kenarına eşit olacak şekilde .d. noktasına kadar uzat ve .c.d. doğrusunu çiz. Önerme 5 gereğince .a.c.d. açısı .d. açısına eşit olacaktır; bundan ötürü .b.c.d. açısı .d. açısından büyüktür. Dolayısıyla, Önerme 18 gereğince [Not: özgün metin: "p.18."; Not: Metin Önerme 18'e atıfta bulunmaktadır, gerçi modern numaralandırmada bu mantık, daha uzun kenarın daha büyük açının karşısında olduğunu belirten Önerme 19'u izler.], .b.d. kenarı .b.c. kenarından büyüktür. Fakat .b.d., [birlikte] .a.b. ve .a.c. kenarlarına eşittir; bundan ötürü birbirine eklenen .b.a. ve .a.c., .b.c. kenarından büyüktür.

Propositio .21.

Bir üçgenin bir kenarının iki uç noktasından, üçgenin kendi içine doğru çizilen iki doğru tek bir noktada birleşirse, bu doğrular üçgenin diğer iki kenarından daha kısa olacak, fakat daha büyük bir açı kapsayacaktır. ¶ .a.b.c. üçgeninde, .b.c. kenarının uç noktalarından çıkan iki doğru .b.d. ve .c.d., .a.b.c. üçgeninin içindeki .d. noktasında birleşsin. Birbirine eklendiklerinde, bunların birbirine eklenen .a.b. ve .a.c. doğrularından daha kısa olduğunu ve .d. açısının .a. açısından daha büyük olduğunu söylüyorum. Zira .b.d. doğrusunu, .a.c. kenarını .e. noktasında kesene kadar uzatacağım. Önerme 20 gereğince, birbirine eklenen .b.a. ve .a.e., .b.e. doğrusundan büyüktür. Dolayısıyla, .b.a. ve .a.c. [Not: Zira .a.c. kenarı .a.e. ve .e.c. parçalarından oluşur.], .b.e. ve .e.c. toplamından büyüktür. Fakat nitekim, aynı [önerme] gereğince birbirine eklenen .d.e. ve .e.c., .d.c. doğrusundan büyüktür; bundan ötürü .b.e. ve .e.c., .b.d. ve .d.c. toplamından büyüktür [Not: Çünkü .b.e., .b.d. ile .d.e. parçalarının toplamıdır.]. Ve daha önce kanıtlandığı üzere .b.a. ve .a.c., .b.e. ve .e.c. toplamından büyük olduğundan, çok daha kesin bir biçimde .b.d. ve .d.c. toplamından büyük olacaktır ki bu önermenin ilk kısmıdır. Şimdi, Önerme 16 gereğince .b.d.c. açısı .d.e.c. açısından büyük olduğundan ve aynı önerme uyarınca .d.e.c. açısı da .c.a.b. açısından büyük olduğundan; .b.d.c. açısı çok daha kesin bir biçimde .b.a.c. açısından büyük olacaktır ki bu da önermenin ikinci kısmıdır.

Propositio .22.

Herhangi ikisi bir araya getirildiğinde geriye kalandan daha uzun olan verilen üç doğru parçasına eşit başka üç doğru parçasından bir üçgen inşa etmek. ¶ Öne sürülen üç doğru parçası .a. .b. .c. olsun ve herhangi ikisi bir araya getirildiğinde geriye kalandan daha uzun olsun. Zira aksi takdirde, Önerme 20 uyarınca bunlara eşit üç doğru parçasından bir üçgen inşa edilemezdi. Dolayısıyla, söz konusu üç doğru parçasından bir üçgen inşa etmek istediğimden, .e. tarafında belirli bir son tayin etmediğim .d.e. doğru parçasını alırım. Bundan, Önerme 3 uyarınca, .a.'ya eşit .d.f.'yi, .b.'ye eşit .f.g.'yi ve .c.'ye eşit .g.h.'yi alırım. İkinci olarak, .f. noktasını merkez alarak, .f.d. doğru parçasının uzunluğuna göre bir .d.k. çemberi çizerim. Aynı şekilde, .g.'yi merkez yaparak, .g.h. doğru parçasının uzunluğuna göre [çember] .k.h.'yi çizerim. Bu çemberler birbirini iki noktada kesecektir ki bunlardan biri .k.'dir. Aksi takdirde, söz konusu doğru parçalarından birinin, diğer ikisinin toplamına eşit veya onlardan daha büyük olması gerekirdi ki bu da varsayılan duruma aykırıdır. Bu yüzden .k.f. ve .k.g. doğru parçalarını çekerim. Böylece .k.f.g. üçgeni, verilen .a. .b. .c. doğru parçalarına eşit üç doğru parçasından inşa edilmiş olur. Çünkü .f.d. ve .f.k., merkezden çembere [uzandıkları] için eşittir; bu sebeple .f.k., .a.'ya eşittir. Benzer biçimde, .g.h. ve .g.k., merkezden çembere gittikleri için eşittir; bu sebeple .g.k., .c.'ye eşittir. Ve .g.f. de .b.'ye eşit alındığından, önerme açıkça ortaya konmuş olur.

Propositio .23.

[Not: Sözcükler: Öklid, geometri, üçgen, önerme, çember, açı, kenar]

[s. 14] [Not: Metindeki önermelere karşılık gelen bir dizi geometrik çizim sol kenar boşluğunda dikey olarak sıralanmıştır: 1. (Önerme 23) Köşeleri a, b ve c olarak etiketlenmiş basit bir dik açılı üçgen. 2. (Önerme 23) h, g, f ve d olarak etiketlenmiş noktalara sahip yatay bir doğruyu içeren bir çizim. f merkezli, d'den geçen bir çember çizilmiştir. Çemberin üst kısmında k köşesi bulunan bir kfg üçgeni kirişlenmiştir. 3. (Önerme 24) Birbiriyle ilişkili üç çizimden oluşan bir küme. İlki bir abc üçgenidir. İkincisi, içindeki bir g noktası d ve f'ye bağlanmış bir def üçgeni ile bir de doğrusudur. Üçüncüsü, d ve f köşelerinden ek h ve k noktaları boyunca uzanan doğrulara sahip bir def üçgenini gösterir. 4. (Önerme 25) Sırasıyla abc ve def olarak etiketlenmiş, yan yana çizilmiş iki ayrı üçgen.]

Verilen bir doğru parçası üzerinde ve bu doğru parçasının üzerindeki bir noktada, verilen bir düzkenar açıya eşit bir düzkenar açı inşa etmek. ¶ Verilen doğru parçası, yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere .f.e. olsun; verilen açıyı .b. .a. doğruları kapsasın ve ben buna .c. tabanını gereyim. .e.f. doğru parçasının .f. noktasında, verilen açıya eşit bir açı yapmam emredilir. .e.f. doğru parçasına, .a. doğru parçasına eşit olan .f.d.'yi eklerim ve .f.'den, .b.'ye eşit olan .f.g.'yi ve .g.'den .b.'ye [Not: Buradaki .b. harfi çizimdeki bir noktayı ifade eder, önceki cümlede ise bir doğru uzunluğunu ifade ediyordu.] .c.'ye eşit olan .g.b.'yi alırım. .f. ve .g. noktaları üzerinde, .f.d. ve .g.b. doğru parçalarının uzunluklarına göre, önceki [önermenin] öğrettiği gibi .k. noktasında birbirini kesen iki .d.k. ve .k.b. çemberi çizerim [Not: özgün metin: "pcedēs"; Önerme 22'ye atıfta bulunmaktadır]. .k.f. ve .k.g. doğru parçaları çekildiğinde, .k.f.g. üçgeninin iki kenarı olan .k.f. ve .f.g., .a.b.c. üçgeninin iki kenarı olan .a. ve .b.'ye eşit olacak ve .g.k. tabanı, .c. tabanına eşit [olacaktır]. Bu nedenle, Önerme 8 uyarınca, .k.f.g. açısı .a. ile .b.'nin kapsadığı açıya eşit olacaktır ki önerilen de buydu.

Propositio 24.

Birinin iki kenarı diğerinin iki kenarına eşit olan herhangi iki üçgende, şayet bu eşit kenarların çevrelediği açı birinde diğerindekinden daha büyükse, [ilkinin] tabanı da diğerinin tabanından daha büyük olacaktır. ¶ .a.b.c. ve .d.e.f. şeklinde iki üçgen olsun; .a.b. ve .a.c. kenarları, .d.e. ve .d.f. kenarlarına her biri tekabül eden kenara eşit olacak biçimde, sağdaki sağdakine ve soldaki soldakine eşit bulunsun. .a. açısı, verilen .d. açısından daha büyük olsun. İddia ediyorum ki .b.c. tabanı, .e.f. tabanından daha büyük olacaktır. Zira önceki [önermenin] öğrettiği üzere, .a. açısına eşit bir .e.d.g. açısı kuracağım. O vakit .e.d.f. açısı bunun bir parçası olacaktır. .d.g. kenarını .a.c. kenarına eşit kılıp .e.g. doğrusunu çizerim; bu doğru ya .d.f. doğrusunu kesecek biçimde .e.f.'nin üzerinden geçecek, ya onunla tek bir doğru oluşturacak şekilde .e.f.'nin üzerine düşecek, ya da onun altına düşecektir. İlk olarak, üzerinden geçtiğini varsayalım: .a.b.c. üçgeninin .a.b. ve .a.c. kenarları, .e.d.g. üçgeninin .e.d. ve .d.g. kenarlarına eşit olduğundan ve .a. açısı bütün halindeki .d. açısına eşit bulunduğundan, 4. Önerme uyarınca .b.c. tabanı .e.g. tabanına eşit olacaktır. Fakat .d.g. ve .d.f. eşit olduğundan (zira her ikisi de .a.c.'ye eşittir), 5. Önerme gereğince .d.f.g. açısı .d.g.f. açısına eşit olacaktır. Dolayısıyla .d.f.g., .f.g.e.'den daha büyük olacak ve böylece .e.f.g. açısı bu aynı .f.g.e.'den çok daha kuvvetle [Not: Özgününde: "mlto forti⁹"; "evleviyetle", "haydi haydi" anlamına gelen yaygın bir mantık ifadesi] büyük bulunacaktır. Bu sebeple, 18. Önerme uyarınca .e.g. kenarı .e.f. kenarından daha büyüktür ve dolayısıyla .b.c., .e.f.'den büyüktür; öne sürülen de buydu. Şayet .e.g., .e.f.'nin üzerine düşüp onunla tek bir doğru oluştursaydı, bu durumda .e.f., .e.g.'nin bir parçası olurdu; böylece sonuncu ortak kavram gereğince [Not: "Bütün, parçadan büyüktür" ortak kavramı.] önerme açıktır. Şayet .e.g., .e.f.'nin altına düşecek olursa, (kanıtlandığı üzere eşit olan) .d.f. ve .d.g. doğruları .k.'ye ve .h.'ye kadar uzatılsın. 5. Önermenin ikinci kısmı uyarınca, .f.g. tabanının altındaki açılar, yani .k.f.g. ile .f.g.h. eşit olacaktır. Böylece .e.f.g. açısı .f.g.e. açısından daha büyük olacaktır. Dolayısıyla 18. Önerme gereğince .e.g. kenarı .e.f. kenarından daha büyüktür, bu yüzden de .b.c., .e.f.'den büyüktür; öne sürülen de buydu. Bu son kısım 21. Önerme ile de kanıtlanabilirdi: Zira bu düzende .d.g. ve .e.g. doğruları, .d.f. ve .f.e. doğrularından daha büyük olurdu; her ikisi de .a.c.'ye eşit olduğu için .d.g., .d.f.'ye eşit olduğundan, .g.e., .e.f.'den büyük olur ve böylece .b.c. de daha büyük bulunurdu; öne sürülen de buydu. Ne var ki her düzende beşinci önerme vasıtasıyla temellendirilebilmesi için bunu ilk yolla göstermek daha evladır.

Propositio 25.

Birinin iki kenarı diğerinin iki kenarına eşit olan herhangi iki üçgende, şayet birinin tabanı diğerinin tabanından daha büyükse, daha büyük tabana sahip üçgenin bu eşit kenarlarca çevrelenen açısı da diğerindeki tekabül eden açıdan daha büyük olacaktır. ¶ .a.b.c. ve .d.e.f. şeklinde iki üçgen olsun; ilkinin .a.b. ve .a.c. kenarları, ikincisinin .d.e. ve .d.f. kenarlarına her biri tekabül eden kenara eşit olacak biçimde eşit bulunsun. .b.c. tabanı, .e.f. tabanından daha büyük olsun. İddia ediyorum ki .a. açısı, .d. açısından daha büyük olacaktır. Bu, önceki [önermenin] karşıtıdır. Şüphesiz eşit olamaz, zira öyle olsaydı 4. Önerme uyarınca .b.c. tabanı .e.f. tabanına eşit olurdu ki bu da varsayıma aykırıdır. Daha küçük de olamaz, çünkü o takdirde .d. [açısı] daha büyük olurdu ve böylece önceki önerme gereğince .e.f. tabanı .b.c. tabanından daha büyük bulunurdu ki bu da önermeye aykırıdır. Dolayısıyla daha büyük olacaktır ve böylece önerme doğrulanmış olur.

Propō .26.

[s. 15] [Not: Metindeki önermelere tekabül eden üç geometrik çizim sağ kenar boşluğuna yerleştirilmiştir: 1. (Önerme 26) İki üçgen gösterilmektedir. İlki tepede 'a', sol altta 'b' ve sağ altta 'c' ile harflendirilmiştir. İkinci üçgen tepede 'd', sol altta 'e' ve sağ altta 'f' ile harflendirilmiştir. İkinci üçgenin 'de' kenarı üzerinde bir 'g' noktası işaretlenmiş ve olmayana ergi yoluyla kanıtı göstermek üzere bir 'gf' doğrusu çizilmiştir. 2. (Önerme 27) İki yatay doğru, bunları çapraz kesen bir kesen doğru ile kesişmektedir. Üstteki yatay doğru solda 'c' ve sağda 'd' ile harflendirilmiştir. Alttaki yatay doğru solda 'e' ve sağda 'f' ile harflendirilmiştir. Kesen doğru tepede 'k' ve dipte 'b' ile harflendirilmiştir. Kesişim noktaları 'g' (cd doğrusu üzerinde) ve 'b' (ef doğrusu üzerinde) olarak harflendirilmiştir. 3. (Önerme 28) Önceki çizime benzer şekilde, iki yatay doğru bir kesen ile kesişmektedir. Yatay doğrular 'c-d' (üst) ve 'e-f' (alt) olarak harflendirilmiştir. Kesen doğru tepede 'a' ve dipte 'b' ile harflendirilmiştir. Kesişim noktaları 'g' (üst) ve 'b' (alt) olarak harflendirilmiştir.]

Birinin iki açısı diğerinin iki açısına eşit olan ve bu kenar ister eşit açıların arasında bulunsun ister bunlardan birinin karşısında bulunsun birinin bir kenarı diğerinin bir kenarına eşit olan herhangi iki üçgende, ilk üçgenin kalan iki kenarı, her biri tekabül eden kenara eşit olmak üzere, ikinci üçgenin kalan iki kenarına eşit olacak ve ilkinin kalan açısı ikincisinin kalan açısına eşit olacaktır.

¶ İki üçgen olsun, .a.b.c. ve .d.e.f. Açısı .b., açısı .e.'ye ve açısı .c., açısı .f.'ye eşit olsun. Ayrıca kenarı .b.c., kenarı .e.f.'ye eşit olsun yahut diğer iki kenardan biri olan .a.b. veya .a.c., diğer iki kenardan biri olan .d.e. veya .d.f.'ye, yani .a.b. kenarı .d.e.'ye veya .a.c. kenarı .d.f.'ye eşit olacak biçimde eşit olsun. Birinin kalan iki kenarının diğerinin kalan iki kenarına eşit olacağını ve kalan açının da kalan açıya eşit olacağını söylüyorum (açı .a., açı .d.'ye eşit).

İlk olarak, üzerinde .b. ve .c. açılarının bulunduğu .b.c. kenarı, üzerinde .e. ve .f. açılarının bulunduğu .e.f. kenarına eşit olsun. O halde .a.b. kenarının .d.e. kenarına, .a.c. kenarının .d.f. kenarına ve .a. açısının .d. açısına eşit olduğunu söylüyorum. Zira şayet .a.b. kenarı .d.e. kenarına eşit değilse, biri diğerinden daha büyük olacaktır. .d.e. daha büyük olanı olsun ve bunu .a.b.'ye eşit olacak şekilde keseyim. .g.e., .a.b.'ye eşit olsun ve .g.f. doğrusunu çizeyim. Önerme 4 gereğince [Not: Önerme 4, iki kenar ve aralarındaki açı eşitse üçgenlerin eş olduğunu belirten Kenar-Açı-Kenar teoremidir.], .g.f.e. açısı o halde .a.c.b. açısına eşit olur. .a.c.b. açısının .d.f.e. açısına eşit olduğu söylendiğinden, bu durum parçanın bütüne eşit olması anlamına gelir [Not: özgün metin: "ps toti" (pars toti). Öklid bunu mantıksal bir imkânsızlık veya parçanın bütüne eşit olamayacağına dair bir "ortak kavram" olarak ele alır.], ki bu imkânsızdır. Dolayısıyla .d.e., .a.b.'ye eşit olmak zorundadır. Neticede, Önerme 4 uyarınca .d.f., .a.c.'ye ve açı .d., açı .a.'ya eşittir. Bu, ayrımın ilk kısmını tamamlar.

Yine, daha önceki gibi, iki açı .b. ve .c., iki açı .e. ve .f.'ye eşit olsun ve .c. açısının karşısındaki .a.b. kenarı, .c. açısına eşit kılınan .f. açısının karşısındaki .d.e. kenarına eşit olsun. Kenar .b.c.'nin kenar .e.f.'ye, kenar .a.c.'nin kenar .d.f.'ye ve açı .a.'nın açı .d.'ye eşit olacağını söylüyorum. Zira şayet .e.f. kenarı .b.c. kenarına eşit olmasaydı, biri daha büyük olurdu. .e.f. daha büyük olanı olsun. .e.g., .b.c.'ye eşit kılınsın ve .d.g. doğrusunu çizeyim. Önerme 4 gereğince, açı .d.g.e., açı .a.c.b.'ye ve dolayısıyla açı .d.f.e.'ye eşit olacaktır. Bu da bir [Not: Bir üçgenin kenarlarından biri uzatılarak üçgenin dışında oluşturulan açı.] açının bir [Not: Üçgenin içindeki açı.] açıya eşit olması anlamına gelir, ki bu Önerme 16 uyarınca imkânsızdır [Not: Önerme 16, bir üçgenin dış açısının her zaman karşıdaki iç açıların her birinden daha büyük olduğunu belirtir.]. Dolayısıyla .e.f., .b.c.'ye eşit olmak zorundadır. Neticede, Önerme 4 uyarınca kenar .d.f., kenar .a.c.'ye ve bütün açı .d., açı .a.'ya eşittir. Bu da ayrımın ikinci kısmıdır, böylece tamamı açıkça kanıtlanmış olur.

Önerme 27 Bir doğru iki doğrunun üzerine düşer ve [Not: Kesen doğrunun zıt taraflarında, ancak kesilen iki doğrunun iç kısmında kalan açılar.] açıları birbirine eşit kılarsa, o iki doğru [Not: özgün metin: "equidistantes". Ne kadar uzatılırsa uzatılsın asla kesişmeyen doğrular.] olacaktır.

¶ Doğru .a.b., iki doğru .c.d. ve .e.f.'nin üzerine düşsün ve .c.d. doğrusunu .g. noktasında, .e.f. doğrusunu ise .b. noktasında kessin. [Not: Çizimde, kesen doğruya 'ab' denilmesine rağmen bu nokta 'b' olarak etiketlenmiştir.] Açı .d.g.b., açı .e.b.g.'ye eşit olsun. Doğrular .c.d. ve .e.f.'nin paralel olduğunu söylüyorum. Zira öyle olmasalardı, ya .c. ve .e. tarafında .k. noktasında ya da .d. ve .f. tarafında .l. noktasında birleşirlerdi [Not: özgün metin: "pcurrant" (procurrant).]. Hangisi olursa olsun, Önerme 16 uyarınca bir imkânsızlık meydana gelirdi, yani bir dış açı bir iç açıya eşit olurdu. Zira eşit kabul edilen mezkûr ters açılardan biri, meydana gelen üçgenin bir dış açısı, diğeri ise bir iç açısı olurdu. Bundan ötürü her iki yönde de uzatıldıklarında birleşmeleri imkânsız olduğundan, tanım gereği paralel olacaklardır; ki bu da öne sürülen şeydir.

Önerme 28 Bir doğru iki doğrunun üzerine gelir ve onun dış açısı aynı taraftaki iç ve karşı açıya eşit olursa yahut aynı taraftaki iki iç açı iki dik açıya eşit olursa, o iki doğru paralel olacaktır.

¶ Doğru .a.b., iki doğru .c.d. ve .e.f.'yi .g. ve .b. noktalarında kessin. Dış açı .g., aynı tarafta alınan iç açı .b.'ye eşit olsun yahut aynı tarafta alınan iki iç açı .g. ve .b., iki dik açıya eşit olsun...

[s. 16] [Not: Sol kenar boşluğuna önermelere karşılık gelen üç geometrik çizim yerleştirilmiştir: 1. (Önerme 29) 'b-a' ve 'd-c' olarak etiketlenmiş iki yatay doğru, 'g' noktasından geçen 'e-f' etiketli bir çapraz kesen doğru ile kesişmektedir. Kesişim noktalarını göstermek için alt doğru üzerinde ilave bir 'h' noktası işaretlenmiştir. 2. (Önerme 30) 'a-b' (üst), 'e-f' (orta) ve 'c-d' (alt) olarak etiketlenmiş üç paralel yatay doğru gösterilmiştir. Bir kesen doğru her üçünü de 'k' (ab üzerinde), 'l' (ef üzerinde) ve 'm' (cd üzerinde) etiketli noktalarda keser. 3. (Önerme 31) Bir 'a' noktası, yatay bir 'b-c' doğrusunun yukarısında yer almaktadır. Yatay doğruyu kesecek şekilde bir 'a-d' doğrusu çizilmiştir ve 'a' noktasından 'b-c'ye paralel başka bir 'a-e' doğrusu geçmektedir.]

...[dik] açılar: c.d. ve e.f. doğrularının paralel olduğunu söylüyorum. İlk olarak, d.g.a açısı f.b.g. açısına eşit olsun. O halde, Önerme 15 gereğince [Not: ters açıların eşit olduğunu belirten önerme], c.g.b açısı bu f.b.g. açısına eşit olacaktır. Dolayısıyla, önceki önerme uyarınca c.d. ve e.f. paraleldir. Yine, iki açı d.g.b ve f.b.g., iki dik açıya eşit olsun; ve Önerme 13 uyarınca iki açı d.g.b ve c.g.b de keza iki dik açıya eşit olduğundan, c.g.b açısı f.b.g. açısına eşit olacaktır. Dolayısıyla, önceki önerme uyarınca c.d. ve e.f. paralel olacaktır; ki bu da öne sürülen şeydir.

Önerme 29 Bir doğru iki paralel doğru üzerine düşerse, iç ters açılar birbirine eşit olacaktır; dış açı, aynı taraftaki iç ve karşı açıya eşit olacaktır; ve aynı taraftaki iki iç açının toplamı iki dik açıya eşit olacaktır. ¶ e.f. doğrusunun üzerlerine düşerek onları g. ve h. noktalarında kestiği iki paralel a.b. ve c.d. doğrusu olsun. [Not: Metin kopyasında "b" yazmaktadır, ancak geometrik bağlam ve şekiller "h" noktasını göstermektedir]. Ters açılar g. ve h.'nin birbirine eşit olduğunu; dış açı g.'nin, aynı tarafta alınan iç ve karşı açı h.'ye eşit olduğunu; ve aynı tarafta alınan iç açılar g. ve h.'nin iki dik açıya eşit olduğunu söylüyorum. Bu, önceki iki önermenin karşıtıdır. İlk kısım şöyle gösterilir: a.g.h. açısı [Not: Özgün metinde: b.g.b; muhtemelen a.g.h. için bir yazım hatası] c.h.g. açısına eşit değilse, bunlardan biri daha büyük olacaktır. c.h.g. açısı daha büyük olsun. c.h.g. ve g.h.d. açıları iki dik açıya eşit olduğundan, Önerme 13 gereğince, a.g.h. ve d.h.g. açıları iki dik açıdan daha küçük olacaktır. Dolayısıyla, dördüncü postulat gereğince [Not: Özgün metinde: "quartam petitionem." Bu, sıklıkla Paralellik Postulatı olarak adlandırılan Öklid'in Beşinci Postulatı'na atıfta bulunur; bazı Orta Çağ geleneklerinde dördüncü olarak numaralandırılmıştır], a.b. ve c.d. doğruları uzatıldıklarında, b. ve d. tarafında k. gibi bir noktada kesişecektir. Bu nedenle tanım gereği paralel değillerdir, bu da varsayımla çelişir; ve bu imkânsız olduğundan, iki iç ters açı a.g.h. ve c.h.g. birbirine eşit olacaktır, bu da önermenin ilk kısmıdır. Buradan ikincisi de açıktır: zira Önerme 15 gereğince, a.g.h. açısı e.g.b. açısına eşittir; dolayısıyla e.g.b. açısı c.h.g. açısına eşit olacaktır, yani dış açı iç açıya eşit olur, bu da önermenin ikinci kısmıdır. Buradan üçüncüsü de yine açıktır: zira Önerme 13 gereğince, e.g.b. ve b.g.h. açıları iki dik açıya eşittir. Dolayısıyla, aynı tarafta alınan iki iç açı olan b.g.h. ve d.h.g. açıları da [Not: Özgün metinde: c.b.g.] iki dik açıya eşit olacaktır; bu da önermenin üçüncü kısmıdır.

Önerme 30 İki doğru, aynı doğruya ayrı ayrı paralelse, birbirlerine de paralel olacaktır. ¶ Her biri e.f. doğrusuna paralel olan iki doğru a.b. ve c.d. olsun. Bu ikisinin, yani a.b. ve c.d.'nin birbirine paralel olduğunu söylüyorum. İki doğru a.b. ve c.d., e.f. doğrusuyla aynı düzlemde [Not: Özgün metinde: "superficie", iki boyutlu bir yüzey veya düzlem anlamına gelir] olsun veya olmasın, bu evrensel olarak doğrudur; ancak burada yalnızca hepsi tek bir düzlemdeymiş gibi anlaşılmaktadır. Zira farklı düzlemlerde olduklarında paralel oldukları gerçeği, on birinci kitabın dokuzuncu önermesinde kanıtlanmıştır [Not: Yazar, bu kanıt 2B düzlem geometrisine odaklansa da, ilkenin 3B katı cisim geometrisinde de geçerli olduğunu açıklamaktadır]. Öyleyse hepsi tek bir düzlemde olsun. a.b., e.f. ve c.d. doğrularını k., l. ve m. noktalarında kesen bir doğru çizilsin. a.b., e.f.'ye paralel olduğundan, önceki önermenin ilk kısmı gereğince, iç ters oldukları için b.k.l. açısı e.l.k. açısına eşit olacaktır; ve c.d., e.f.'ye paralel olduğundan, önceki önermenin ikinci kısmı gereğince k.l.e. dış açısı c.m.l. iç açısına eşit olacaktır. Dolayısıyla b.k.l. açısı c.m.l. açısına eşittir ve bunlar ters açılar [Not: Özgün metinde: "coalterni"] olduğundan, Önerme 27 gereğince a.b. ve c.d. doğruları paralel olacaktır; ileri sürülen de buydu.

Önerme 31 Verilen bir doğrunun dışındaki verilen bir noktadan, bu doğruya paralel bir doğru çizmek. ¶ Bir doğrunun dışında verilen bir nokta, doğru her iki yönde de uzatıldığında bu noktadan geçmeyecek şekilde anlaşılır. Dışında b.c. doğrusuna paralel bir doğru çizilmesi gereken a. noktası, b.c. doğrusunun dışında verilmiş olsun. Herhangi bir şekilde denk gelecek biçimde a.d. doğrusunu çizerim ve uç nokta olan a. noktası üzerinde...

[s. 17] ...Önerme 23'ün yönergesiyle [Not: Özgün metinde: "p doctrinā.23."], a.d. doğrusu boyunca, onun ters açısı olan b.d.a. açısına eşit bir e.a.d. açısı inşa ederim; ve Önerme 27 gereğince a.e. doğrusu b.c.'ye paralel olacaktır, önerilen de buydu.

Önerme 32 Herhangi bir üçgende bir dış açı, iki iç ve karşı açının toplamına eşittir; ve üçgenin üç iç açısının toplamının iki dik açıya eşit olması zorunludur.

¶ b.c. kenarı d.'ye kadar uzatılmış bir a.b.c. üçgeni olsun. c.'deki dış açının [Not: a.c.d. açısı] birlikte alınan iki iç ve karşı açı olan a. ve b.'ye eşit olduğunu; ve a.b.c. üçgeninin birlikte alınan üç açısının iki dik açıya eşit olduğunu söylüyorum. Önceki önermenin yönergesini izleyerek c. noktasından a.b.'ye paralel c.f. doğrusunu çizeceğim. Önerme 29'un ilk kısmı gereğince f.c.a. açısı a. açısına eşit olacaktır, çünkü bunlar iç ters açılardır [Not: Özgün metinde: "coalterni"]; ve aynı önermenin ikinci kısmı gereğince f.c.d. dış açısı b. iç açısına eşittir. Dolayısıyla bütün a.c.d. dış açısı, iki iç ve karşı açı olan a. ve b.'ye eşittir; bu da kanıtın ilk kısmıdır. Önerme 13 gereğince [Not: Bir doğru üzerindeki açıların toplamının 180 derece olduğunu belirten önerme] a.c.b. ve a.c.d. açıları iki dik açıya eşit olduğundan, a., b. ve c. iç açılarının üçünün de iki dik açıya eşit olacağı sonucu çıkar; önerilen ikinci husus da buydu.

[Not: Önerme 32'yi göstermek üzere sağ kenar boşluğuna üç geometrik çizim yerleştirilmiştir: 1. (Üstte) Köşeleri 'a', 'b' ve 'c' olarak işaretlenmiş bir üçgen. 'b-c' kenarı bir 'd' noktasına kadar uzatılmıştır. 'c' köşesinden 'a-b' kenarına paralel bir 'c-f' doğrusu çizilmiştir. Bu çizim, 'acd' dış açısının, kendisine komşu olmayan 'a' ve 'b' iç açılarının toplamına eşit olduğu kanıtını gösterir. 2. (Ortada) Köşeleri 'a', 'b', 'c', 'd' ve 'e' olarak işaretlenmiş bir beşgen. 'a' köşesinden 'c' ve 'd' köşelerine iki iç doğru çizilerek beşgen üç üçgene (abc, acd ve ade) bölünmüştür. Bu çizim, iç açılarının toplamını hesaplamak için bir çokgenin nasıl üçgenlere ayrılabileceğini gösterir. 3. (Altta) Köşeleri 'a', 'b', 'c', 'd' ve 'e' olarak işaretlenmiş bir beşgen. Her bir köşeye uzanan doğrularla şekli beş üçgene bölen bir merkez noktası gösterilmiştir. Ayrıca beşgenin her bir kenarı dışa doğru uzatılmıştır: 'a-b' kenarı 'f'ye, 'b-c' kenarı 'g'ye, 'c-d' kenarı 'h'ye, 'd-e' kenarı 'k'ye ve 'e-a' kenarı 'l'ye. Bu çizim, bir merkez noktası kullanarak iç açıların toplamına ve dış açıların toplamına ilişkin kanıtları destekler.]

¶ Bundan başka açıktır ki herhangi bir çokgensel şekil [Not: özgününde: "figure poligonie"] için, bütün açılarının toplamı, ilkinden başlayarak çokgenler dizisindeki sırasının iki katı kadar dik açıya eşittir. Örneğin çokgensel şekiller arasında üçgen birincisidir; zira bir şekil yalnızca iki doğrudan ibaret olsaydı, şekil doğruların bir kuşatması olduğundan, iki doğru çizgi bir yüzeyi çevrelerdi ki bu da son öncüle göre imkânsızdır. Dörtgen ikinci şekildir; beşgen üçüncü şekildir ve benzer biçimde herhangi bir şeklin sıradaki yeri, kenarlarının ya da açılarının sayısının iki eksiği olacaktır [Not: özgününde: "dempto binario"].

O hâlde derim ki, birinci olan üçgen için bütün açılar iki dik açıya eşittir. İkinci olan dörtgen için dört dik açıya eşit olacaktır; üçüncü olan beşgen için ise altı dik açıya eşit olacaktır. Bu durum, herhangi bir köşesinden karşıdaki bütün köşelere doğru çizgiler çekilerek, böylesi her şeklin ilkinden itibaren bulunduğu sıra sayısı kadar üçgene ayrılabilmesi olgusundan açıkça anlaşılır. Her üçgenin bütün açıları iki dik açıya eşit olduğundan, çok kenarlı herhangi bir şeklin bütün açıları, ilkinden itibaren bulunduğu sıra sayısının iki katı kadar dik açıya eşit olacaktır; gösterilmek istenen de buydu.

Örneğin bir a.b.c.d.e. beşgeni olsun. Bunun a. köşesinden karşıdaki c. ve d. köşelerine doğrular çizeceğim. Beşgenin tamamı üç üçgene ayrılacaktır: a.b.c., a.c.d. ve a.d.e. Bunların her birinin açıları iki dik açıya eşit olduğundan, beşgenin açıları altı dik açıya eşit olacaktır; bu da ilkinden olan uzaklığının iki katıdır [Not: 3. sıra x 2 = 6], yahut açılarının ya da kenarlarının sayısının iki eksiğinin iki katıdır [Not: (5 kenar - 2) x 2 = 6].

¶ Aynı şeyi şu şekilde de ileri sürebiliriz; herhangi bir çokgensel şeklin bütün açılarının toplamı, sahip olduğu açı sayısının iki katının dört eksiği kadar dik açıya eşittir. Şeklin içinde herhangi bir nokta işaretlenir ve buradan her bir köşeye doğrular çizilirse, şeklin kendisi sahip olduğu açı sayısı kadar üçgene ayrılacaktır. Dolayısıyla bu üçgenlerin tamamının bütün açıları bir arada alındığında, şekildeki açı sayısı kadar dik açının iki katına eşit olacaktır. Önerme 13 gereğince merkez noktası etrafında birleşen üçgenlerin bütün açıları dört dik açıya eşit olduğundan [Not: tam bir daireyi tamamladıkları için], önerme açıkça ortadadır.

¶ Benzer biçimde, herhangi bir çokgensel şeklin bütün dış açılarının toplamının dört dik açıya eşit olduğu da açıktır. Zira Önerme 13 gereğince, iç ve dış açılar birlikte [şeklin] açı sayısı kadar dik açının iki katına eşittir. Fakat iç açılar, açı sayısının iki katının dört eksiği kadar dik açıya eşittir; bu nedenle dış açılar dört dik açıya eşit olmak zorundadır; gösterilmek istenen de buydu.

Örneğin, dış açılar oluşacak biçimde önerilen beşgenin kenarları uzatılsın: a.b. kenarı f.'ye, b.c. kenarı g.'ye, c.d. kenarı h.'ye, d.e. kenarı k.'ye ve e.a. kenarı l.'ye uzatılsın. Önerme 13 gereğince, iç a. ve dış a. olmak üzere iki açı iki dik açıya eşit olacaktır. Aynı akıl yürütmeyle, iç b. ve dış b. olmak üzere iki açı ve diğerleri de öyle olacaktır.

[s. 18] [Not: Sol kenar boşluğuna dört geometrik çizim yerleştirilmiştir: 1. (Üstte) Köşeleri a, b, c, d ve e olarak işaretlenmiş bir beşgenin içine çizilmiş beş köşeli bir yıldız (pentagram). İç kesişim noktaları g ve f olarak işaretlenmiştir. Bu çizim, bir yıldızın köşe açılarının toplamının iki dik açıya eşit olduğu kanıtını gösterir. 2. (Üst orta) Köşeleri a, b, c ve d olan bir paralelkenar. a köşesinden d köşesine bir köşegen çizgisi çekilmiştir. Bu çizim, Önerme 33 veya 34'ü gösterir. 3. (Alt orta) Yukarıdakiyle yapısal olarak özdeş, a, b, c ve d olarak işaretlenmiş ve a-d köşegenine sahip bir paralelkenar. 4. (Altta) Ortak bir c-e taban doğrusunu paylaşan iki paralelkenarı gösteren bir çizim. Bunlar birbirine paralel iki yatay doğru arasına yerleştirilmiştir. Üst doğru a, g, f, h ve b olarak işaretlenmiş noktaları içerir. Çeşitli doğrular bu noktaları c ve e taban noktalarına bağlayarak birbiri üzerine binen şekiller oluşturur. Bu çizim, aynı taban üzerindeki paralelkenarlara ilişkin Önerme 35'i gösterir.]

...ve diğerleri; bundan ötürü a, b, c, d ve e noktalarının iç ve dış açıları on dik açıya eşittir. Dolayısıyla, altı dik açıya eşit olan iç açılar çıkarıldığında [Not: Öklid geometrisinde, bir beşgenin iç açılarının toplamı her zaman 540 derecedir, yani 6 dik açıdır], dıştakiler, yani b.a.l, c.b.f, d.c.g, e.d.b ve a.e.k, dört dik açıya eşit olacaktır.

¶ Buradan ayrıca görülür ki her kenarı kalan kenarlardan ikisini kesen her beşgenin [Not: Bu bir pentagramı ya da yıldız beşgeni ifade eder], beş açısı iki dik açıya eşittir. Öne sürülen beşgen a.b.c.d.e. olsun; a.c. kenarı b.e. kenarını g noktasında kessin ve a.d. kenarı da aynı b.e. kenarını f noktasında kessin. Bu durumda a.f.g. açısı, f.d.b. üçgeninde bunlara bir dış açı olduğundan, b. ve d. açılarının toplamına eşit olacaktır. Benzer şekilde f.g.a. açısı, g.c.e. üçgeninde bunlara bir dış açı olduğundan, c. ve e. açılarının toplamına eşit olacaktır. Fakat a.f.g. ve f.g.a. açıları, a. açısıyla birlikte iki dik açıya eşittir [Not: içteki a.f.g. üçgeninin üç açısını oluşturdukları için]; dolayısıyla b., d. ve c., e. olmak üzere dört açı, a. açısıyla birlikte iki dik açıya eşittir, ki bu da öne sürülen şeydi.

Önerme 33 Birbirine paralel ve eşit uzunluktaki iki doğru, uç noktalarından başka iki doğruyla birleştirilirse, bu doğrular da eşit ve paralel olacaktır.

¶ Eşit ve paralel olan iki a.b. ve c.d. doğrusu olsun; bunların uç noktalarını, yine eşit ve paralel olduklarını söylediğim a.c. ve b.d. doğrularıyla birleştiriyorum. a.d. doğrusunu çizeceğim; ve a.b. ile c.d. doğruları paralel olduğundan, Önerme 29'un birinci kısmı gereğince [Not: iç ters açılara dair] b.a.d. açısı a.d.c. açısına eşit olacaktır. Dolayısıyla a.b.d. üçgeninin a.b. ve a.d. kenarları, d.c.a. üçgeninin d.c. ve d.a. kenarlarına eşit olacak ve ilk üçgenin a. açısı ikincinin d. açısına eşit olacaktır. Böylece Önerme 4 gereğince [Not: Kenar-Açı-Kenar teoremi], ilkinin b.d. tabanı ikincinin a.c. tabanına eşit olur ve ilkinin a.d.b. açısı ikincinin d.a.c. açısına eşit olur. Bunlar ters açılar olduğundan, Önerme 27 gereğince b.d. ve a.c. doğruları paralel olacaktır; daha önce eşit oldukları da kanıtlandığından, önermenin her iki kısmı da açıktır.

Önerme 34 Paralel kenarlarla çevrelenmiş her yüzeyin [Not: bir paralelkenar] karşılıklı kenarları ve açıları birbirine eşittir ve köşegeni onu ortasından ikiye böler.

¶ Kenarları paralel olan bir a.b.c.d. yüzeyi olsun; öyle ki a.b. doğrusu c.d.'ye paralel ve a.c. doğrusu b.d.'ye paraleldir. a.b. ve c.d. doğrularının, keza a.c. ve b.d. doğrularının eşit olduğunu söylüyorum. Benzer şekilde a. açısının d. açısına ve b. açısının c. açısına eşit olduğunu söylüyorum. Söz konusu yüzeyi ortasından da bölecek olan a.d. köşegenini çizeceğim. a.b. ve c.d. paralel olduğundan, ters açılar olan b.a.d. ve c.d.a. açıları Önerme 29 gereğince eşit olacaktır. Ve a.c. ile d.b. de paralel olduğundan, ters açılar olan c.a.d. ve b.d.a. açıları aynı önerme gereğince eşit olacaktır. O halde a.d.b. ve d.a.c. üçgenlerini ele alıyorum; a.b.d. üçgeninin iki açısı olan a. ve d., d.a.c. üçgeninin iki açısı olan d. ve a.'ya eşit olduğundan ve bu açıların üzerinde bulunduğu a.d. kenarı her iki üçgen için ortak olduğundan, Önerme 26 gereğince [Not: Açı-Kenar-Açı teoremi] a.b. kenarının c.d. kenarına, a.c. kenarının b.d. kenarına ve b. açısının c. açısına eşit olduğu sonucu çıkar. Ve toplam a. açısının toplam d. açısına eşit olduğu ikinci ortak kavram [Not: eşitlere eşitler eklenirse sonuçlar eşit olur] gereğince gösterildiğinden, sonucunun ilavesiyle birlikte önermenin tamamı aşikârdır.

Önerme 35 Bir taban üzerinde ve aynı paralel doğrular arasında kurulan bütün paralelkenarların [Not: özgün metin: "superficies equidistantium laterum"] birbirine eşit olduğu kanıtlanır.

¶ Aralarında, c.e. tabanı üzerinde a.c.f.e. paralelkenarının oluşturulduğu a.b. ve c.d. gibi iki paralel doğru olsun; ve aynı taban üzerinde ve aynı doğrular arasında bir başka g.c.b.e. paralelkenarı oluşturulsun. Bahsi geçen iki yüzeyin eşit olduğunu söylüyorum, ki bu şöyle kanıtlanır, zira c.g. doğrusu a.b. doğrusunu ya a.f. doğrusu üzerindeki bir noktada, ya f. noktasında ya da b.f. doğrusu üzerindeki bir noktada kesecektir. İlk olarak, birinci şekilde görüldüğü gibi, a.f. doğrusu üzerindeki bir noktada kessin. Ve a.f. ile g.b. doğrularının her biri önceki önerme gereğince c.e. doğrusuna eşit olduğundan, bunlardan biri diğerine eşit olacaktır...

[s. 19] [Not: Sağ kenar boşluğunda dört geometrik çizim yer almaktadır: 1. (Üstte) İki paralelkenar, iki paralel doğru arasında ortak bir yüksekliği paylaşır. Üst doğru a, b, e ve f noktalarını içerir; alt doğru c, d, g ve h noktalarını içerir. Dikey/çapraz doğrular a-c, b-d, e-g ve f-h noktalarını birleştirir. Bu, Önerme 36'yı gösterir. 2. (Üst orta) İki üçgen, a-b-c ve d-b-c, aynı b-c tabanını paylaşır. Paralel doğrular arasında yer alırlar. Üst doğru g, a, k, d, f ve h noktalarını içerir. Üçgenlerin, paralelkenarların alanının yarısı olduğunu göstermek için bu noktalar kullanılarak üçgenlerin etrafında paralelkenarlar kurulur. Bu, Önerme 37'yi gösterir. 3. (Alt orta) İki üçgen, a-b-c ve d-e-f, aynı alt doğru boyunca eşit b-c ve e-f tabanları üzerinde çizilmiştir. Üst doğru a, k, d ve h noktalarını içerecek şekilde paralel doğrular arasında yer alırlar. Her taban üzerinde paralelkenarlar kurulur. Bu, Önerme 38'i gösterir. 4. (Altta) Aynı b-c tabanına ve eşit alanlara sahip iki üçgeni gösteren bir çizim. Üçgenlerden biri a-b-c, diğeri d-b-c'dir. Üçgenler eşitse d köşesinin de aynı paralel doğru üzerinde yer alması gerektiğini göstermek için a köşesinden geçen bir a-e-f doğrusu çizilmiştir. Bu, Önerme 39'u gösterir.]

Dolayısıyla, ortak f-g doğrusu çıkarıldığında, a-g f-b'ye eşit kalacaktır, çünkü öncekine göre [Not: özgün metin: "p̄ pcedentē" kanıtın önceki adımına atıfta bulunur] yine a-c f-e'ye eşittir ve Önerme 29'un ikinci kısmı gereğince b-f-e açısı g-a-e açısına eşittir, yani dış açı iç açıya eşittir. Böylece Önerme 4 gereğince a-c-g üçgeni f-e-b üçgenine eşit olacaktır. Bu nedenle, düzensiz dörtgen şekil g-c-f-e her ikisine de eklenirse, a-c-f-e yüzeyi [Not: Buradaki "superficies" kelimesi şeklin alanını ifade eder] g-c-b-e yüzeyine eşit olacaktır, ki bu da kanıtlanması gerekendi.

Şimdi, ikinci şekilde görüldüğü gibi, c-g doğrusu a-b doğrusunu f noktasında kessin. Öncekiyle benzer bir akıl yürütmeyle, a-c-f ve f-c-b üçgenleri birbirine eşit olacaktır, dolayısıyla her ikisine f-c-e üçgeni eklendiğinde önerme açıklık kazanır.

Üçüncü bir yolla, üçüncü şekilde görüldüğü gibi, c-g doğrusu a-b doğrusunu f ve b noktaları arasından kessin ve f-e doğrusunu da k noktası gibi bir noktada kessin. Öncekiyle benzer bir akıl yürütmeyle a-f doğrusu g-b doğrusuna eşit olduğundan ve g-f doğrusu ortak kılındığında a-g, f-b'ye eşit olacağından a-g-e üçgeni de f-c-b üçgenine eşit olur. Dolayısıyla her ikisine c-k-e üçgeni eklenip her ikisinden f-k-g üçgeni çıkarıldığında, a-c-f-e yüzeyi g-c-b-e yüzeyine eşit olacaktır, ki bu da kanıtlanması gerekendi.

Önerme 36 Eşit tabanlar üzerinde ve aynı paralel doğrular arasında kurulan bütün paralelkenarların birbirine eşit olması zorunludur. ¶ Bir paralelkenar, kenarları eşit mesafeli bir yüzey olarak tanımlanır. a.f. ve c.b. olan iki eşit mesafeli doğru arasında ve c.d. ile g.b. olan eşit tabanlar üzerinde kurulmuş, kenarları eşit mesafeli iki a.b.c.d. ve e.f.g.b. yüzeyi olsun. Bunların birbirine eşit olduğunu söylüyorum. Zira c.e. ve d.f. şeklinde iki doğru çizersem, Önerme 33 uyarınca c.d.e.f. yüzeyi kenarları eşit mesafeli bir yüzey olacaktır, çünkü e.f., c.d.'ye hem eşittir hem de eşit mesafelidir, zira her ikisi de g.b.'ye eşittir. O halde, öncül gereğince a.b.c.d. ve e.f.g.b. yüzeylerinin her biri c.d.e.f. yüzeyine eşit olduğundan, birbirlerine de eşit olacaklardır, ki bu da kanıtlanması gerekendi.

Önerme 37 Aynı taban üzerinde ve iki paralel doğru arasında kurulan bütün üçgenler birbirine eşittir. ¶ b.c. tabanı üzerinde, eşit mesafeli [Not: paralel] iki a.e. ve b.f. doğrusu arasında kurulmuş iki a.b.c. ve d.b.c. üçgeni olsun. Bunların birbirine eşit olduğunu söylüyorum. Zira Önerme 31 uyarınca a.b.'ye paralel c.g. ve d.b.'ye paralel c.h. doğrularını çizeceğim. Bu durumda Önerme 35 uyarınca birbirine eşit olan iki a.b.c.g. ve d.b.c.h. yüzeyi meydana gelecektir. Önerme 34'ün vargısı uyarınca söz konusu üçgenler bu yüzeylerin yarısı olduğundan, bütünleri eşit olan şeylerin yarılarının da eşit olduğunu bildiren ortak bilgi [Not: özgün metin: Öklid'deki bir Ortak Kavram veya Aksiyoma atıfta bulunan "cōez sciam"] gereğince birbirlerine eşit olacaklardır, böylece önerme açıklık kazanır.

Önerme 38 İki üçgen eşit tabanlar üzerinde ve iki paralel doğru arasında yer alırsa, bunların birbirine eşit olması zorunludur. ¶ b.c. ve e.f. eşit tabanları üzerinde ve a.g. ile b.h. eşit mesafeli doğruları arasında kurulmuş iki a.b.c. ve d.e.f. üçgeni olsun. Bunların birbirine eşit olduğunu söylüyorum. Zira a.b.'ye paralel c.k. ve e.d.'ye paralel f.l. doğrularını çizeceğim. Bu durumda Önerme 36 uyarınca eşit iki a.b.c.k. ve d.e.f.l. yüzeyi meydana gelecektir. Önerme 34'ün vargısı uyarınca söz konusu üçgenler bu yüzeylerin yarısı olduğundan, daha önce anılan ortak bilgi gereğince birbirlerine eşit olacaklardır.

Önerme 39 Bütün eşit üçgen çiftleri, şayet aynı taban üzerinde ve aynı tarafta yer alırlarsa, iki paralel doğru arasında bulunurlar. ¶ b.c. tabanı üzerinde, bir ve aynı tarafta kurulmuş iki a.b.c. ve d.b.c. üçgeni olsun ve bunlar eşit olsunlar. Bunların eşit mesafeli doğrular arasında olduğunu söylüyorum. Bu, Önerme 37'nin karşıtıdır. a noktasından b-c doğrusuna paralel bir doğru çizeceğim. Şayet bu doğru d noktasından geçerse, önerme kendiliğinden açıktır. Fakat üstünden ya da altından geçerse: önce üstünden geçtiğini varsayalım ve a.e. olsun; b.d.'yi kesecek şekilde uzatacağım...

[s. 20] [Not: Sol kenar boşluğunda, metne tekabül eden dört geometrik şekil yer almaktadır: 1. (Üstte) a-b-c olarak harflendirilmiş bir üçgen. b-c tabanına paralel, a-b ve a-c kenarlarını kesen bir d-e doğrusu çizilmiştir. b köşesinin yanına "Vargı" kenar notu düşülmüştür. 2. (Üst orta) Aynı doğru üzerinde eşit tabanlara (b-c ve e-f) oturan iki üçgeni gösteren karmaşık bir şekil. Tabanlardan ve köşelerden geçen paralel doğrular çizilmiştir. g, a ve h noktaları üst doğrudadır; d bir köşedir; b, c, e ve f alt doğrudadır. 3. (Alt orta) Bir a-b-c-d paralelkenarı. Aynı b-d tabanını paylaşan ve aynı paralel doğrular arasında çizilmiş bir e-b-d üçgeni yer alır. d noktasının sağına "Vargı" kenar notu düşülmüştür. 4. (Altta) Aynı taban ve yükseklikteki paralelkenarlar ile üçgenler arasındaki ilişkiyi gösteren, köşegenler ve inşa edilmiş üçgenler de dahil olmak üzere muhtelif iç doğruları olan bir paralelkenar.]

...a-e doğrusunu e noktasında kessin ve e-c doğrusunu çizeceğim. Önerme 37 uyarınca e-b-c üçgeni a-b-c üçgenine eşit olduğundan ve d-b-c üçgeninin de a-b-c üçgenine eşit olduğu belirtildiğinden, d-b-c üçgeni e-b-c üçgenine eşit olacaktır; yani parça bütüne eşit olacaktır [Not: özgün metin: bir kısmın bütünle aynı olduğunun iddia edildiği mantıksal bir safsata olan "pars toti"], ki bu imkânsızdır. Dolayısıyla a noktasından b-c'ye paralel olarak çizilen doğru, d'nin üstünden geçmeyecektir. O halde altından geçtiğini varsayalım ve d-b doğrusunu f noktasında kesen a-f doğrusu olsun. Ardından f-c doğrusunu çizeceğim.

Sonuç İddiası Ve Önerme 37 gereğince f-b-c üçgeni a-b-c üçgenine eşit olduğundan, d-b-c üçgenine de eşit olacaktır; yani parça bütüne eşit olur ki bu imkânsızdır. Bu sebeple a noktasından b-c'ye çizilen paralel doğru d haricinde hiçbir noktadan geçmediğinden, önerme açıktır. Bundan ve bir öncekinden hareketle, eğer herhangi bir doğru herhangi bir üçgenin iki kenarını iki eşit parçaya bölerse [Not: özgün metin: "per equalia secet", iki eşit parçaya bölmek], bu doğrunun tabana paralel olacağını not ediniz. Bu şöyle kanıtlanır: İki kenarı a-b ve b-c, d-e doğrusu tarafından a-b kenarı d noktasında ve b-c kenarı e noktasında olmak üzere iki eşit parçaya bölünen bir a-b-c üçgeni olsun. d-e doğrusunun a-c'ye paralel [Not: özgün metin: "equidistans"] olduğunu söylüyorum. Zira a-c-e-d dörtgeninde a-e ve d-c köşegenlerini çizeceğim. Önerme 38 gereğince a-e-d üçgeni d-e-b üçgenine eşit olacaktır, zira a-d doğrusu d-b doğrusuna eşit kılınmıştı. Benzer şekilde, aynı önerme gereğince c-e-d üçgeni de aynı d-e-b üçgenine eşit olacaktır, zira c-e doğrusu e-b doğrusuna eşit kılınmıştı. a-e-d üçgeni c-e-d üçgenine eşit olduğundan ve aynı taban, yani e-d doğrusu üzerinde ve aynı tarafta kurulduklarından, bu Önerme 39 gereğince paralel doğrular arasında olacaklardır. Dolayısıyla d-e doğrusu a-c doğrusuna paraleldir; bu önerme dördüncü kitabın beşinci önermesi için size yararlı olacaktır.

Eğer iki eşit üçgen, tek ve aynı bir doğru üzerinde ve aynı tarafta olmak üzere eşit tabanlar üzerinde kurulursa, bunların iki paralel doğru arasında bulunması zorunludur.

Eşit iki üçgen a-b-c ve d-e-f olsun; bunlar b-c ve e-f olan iki taban üzerinde ve aynı tarafta kurulmuş bulunsun. Bunların iki paralel doğru arasında olduğunu söylüyorum. Bu, Önerme 38'in karşıtıdır ve tıpkı bir öncekinin Önerme 37 ile kanıtlandığı gibi bununla kanıtlanır. a noktasından b-f doğrusuna bir paralel doğru çizilsin. Eğer d noktasından geçerse önerme açıktır. Şayet a-g doğrusu gibi onun yukarısından geçerse ve e-d doğrusu ona doğru g noktasına kadar uzatılırsa ve g-f doğrusu çizilirse, o zaman Önerme 38 gereğince a-b-c üçgeni g-e-f üçgenine eşit olacaktır. Bu sebeple d-e-f üçgeni g-e-f üçgenine eşit olacaktır; yani parça bütüne eşit olur ki bu imkânsızdır. Dolayısıyla yukarısından geçmeyecektir. O halde aşağısından geçsin ve d-e doğrusunu h noktasında kessin, f-h doğrusu da çizilsin. O zaman Önerme 38 gereğince b-e-f üçgeni [Not: Metin burada muhtemelen a-b-c'yi kastetmektedir] a-b-c üçgenine ve dolayısıyla d-e-f üçgenine de eşit olacaktır; yani parça bütüne eşit olur ki bu imkânsızdır. Bu sebeple d noktası haricinde bir yerden geçmeyeceğinden, önerme açıktır.

Eğer bir [Not: Karşılıklı kenarları paralel olan dört kenarlı şekil.] ile bir üçgen aynı taban üzerinde ve aynı karşılıklı doğrular arasında kurulursa, paralelkenar üçgenin iki katı olacaktır.

b-d tabanı üzerinde ve birbirine paralel olan a-e ile b-d doğruları arasında bir a-b-c-d paralelkenarı ile e-b-d üçgeni olsun. Sonuç İddiası Paralelkenarın üçgenin iki katı olduğunu söylüyorum. Paralelkenarda a-d köşegenini çiziniz. Önerme 34'ün [Not: özgün metin: "conclusione"] vargısı gereğince a-b-d üçgeni paralelkenarın yarısı olacaktır. Önerme 37 gereğince e-b-d üçgeni a-b-c [Not: Muhtemelen a-b-d yerine yapılmış bir hata] üçgenine eşit olduğundan, e-b-d üçgeninin a-b-c-d paralelkenarının yarısı olduğu açıktır ki bu da ileri sürülmüş olandır. Benzer biçimde, eğer bir paralelkenar ile bir üçgen eşit tabanlar üzerinde ve paralel doğrular arasında kurulursa, paralelkenarın üçgenin iki katı olacağı da kanıtlanabilir. Öklid bunu ayrıca belirtmemiştir, zira bu durum bundan ve Önerme 38'den, paralelkenarın bir köşegenle iki üçgene bölünmesi suretiyle, gerek paralelkenarın tabanı üzerinde gerekse aynı paralel doğrular arasında kolayca bir [Not: Zaten kanıtlanmış bir önermeden doğal olarak çıkan önerme.] olarak görülür...

[s. 21] [Not: Kanıtları göstermek için sağ kenar boşluğuna üç geometrik çizim yerleştirilmiştir: 1. (Üstte) Önerme 42 için eşit yükseklikte bir dikdörtgen ve bir üçgen gösteren bir çizim. Noktalar üst doğruda b, g, f; orta yatay doğruda c, e; solda a; ve sağ altta d olarak etiketlenmiştir. Bir köşegen doğru b'yi d'ye bağlar. 2. (Ortada) Önerme 43 için b-c köşegeni üzerinde kesişen bir e-f yatay doğrusu ve bir g-h dikey doğrusuyla dört küçük paralelkenara bölünmüş büyük bir a-b-d-c dikdörtgenini gösteren bir şekil. 3. (Altta) Önerme 44 için alanların belirli bir doğruya uygulanmasında kullanılan, kesişen birkaç doğruyu ve bir üçgeni gösteren silik bir geometrik çizim.]

...bir üçgen kurulmuş olduğundan, önceki [önerme] gereğince bir paralelkenar bunun iki katı olacaktır ve kendisi de Önerme 38 gereğince diğer üçgene eşittir.

¶ Önerme 42

Bir açısı verilen bir açıya eşit ve alanı verilen bir üçgene eşit olan bir paralelkenar [Not: Kelimesi kelimesine "eşuzaklıklı kenarları olan bir yüzey"] inşa etmek. ¶ Verilen açı a ve verilen üçgen b-c-d olsun. Birbirine karşı konumlanmış iki açısının her biri a açısına eşit olan, b-c-d üçgenine eşit bir paralelkenar betimlemek istiyorum. c-d tabanını e noktasında ortadan ikiye bölüyorum ve b-e doğrusunu çiziyorum. b noktasından c-d'ye paralel b-f çiziyorum. Önerme 38 gereğince b-c-e üçgeni b-e-d üçgenine eşittir ve dolayısıyla b-e-d üçgeni b-c-d üçgeninin tamamının yarısıdır. Ardından, d-c doğrusu üzerindeki e noktasında a açısına eşit bir d-e-g açısı inşa ediyorum ve g-e-d-f paralelkenarını tamamlıyorum. Bu şekil önceki önerme gereğince b-e-d üçgeninin iki katı olduğundan, şu ortak kavram [Not: özgün metin: "cōam scienciam", Öklid'in Aksiyomlarına atıfta bulunmaktadır] gereğince b-c-d üçgenine de eşit olacaktır: Yarıları birbirine eşit olan şeyler birbirine de eşittir. Zira b-e-d üçgeni her ikisinin de yarısıdır; bu nedenle, karşıt iki açısı olan g-e-d ve d-f-g'nin her biri a açısına eşit olan ve b-c-d üçgenine eşit bulunan g-e-d-f paralelkenarını betimlemiş olduk ki bu da ileri sürülmüş olandı.

¶ Önerme 43

Her paralelkenarda, köşegen etrafında bulunan paralelkenarların tümleyenleri [Not: terim: "supplementa", köşegen boyunca daha küçük paralelkenarlar çizildiğinde bir paralelkenarda geriye kalan alanlar] birbirine eşit olmalıdır. ¶ Köşegeni b-c olan bir a-b-c-d paralelkenarı olsun. Hem a-b hem de c-d kenarlarına paralel olan ve köşegeni k noktasında kesen e-f doğrusunu çizerim. Oradan, hem a-c hem de b-d kenarlarına paralel olan k-g doğrusunu çizer, bunu hem a-b hem de c-d kenarlarını kesene kadar uzatırım; doğrunun tamamı g-k-h olsun. Böylece a-b-c-d paralelkenarının tamamı dört paralelkenara bölünür; bunlardan ikisinin, yani e-c-k-h ve g-k-b-f'nin, köşegen merkezlerinden geçtiği için c-b köşegeni etrafında durduğu söylenir. Bu yüzden bunlar "köşegen etrafındadır". Geriye kalan ikisine, yani a-e-g-k ve k-h-f-d'ye ise tümleyenler denir. Bu iki tümleyenin eşit olduğu söylenir. Zira Önerme 34'ün vargısına göre a-b-c ve c-d-b üçgenleri eşittir. Benzer şekilde, aynı vargı uyarınca g-k-b ve f-k-b üçgenleri de eşittir. Yine aynı vargı uyarınca c-e-k ve k-h-c üçgenleri de eşittir. Dolayısıyla, bütün olan a-b-c üçgeninden b-g-k ve k-e-c üçgenleri çıkarılırsa ve diğer bütün olan c-d-b üçgeninden geriye kalan iki üçgen b-f-k ve k-c-h çıkarılırsa, ortak mefhum gereğince kalanlar eşit olacaktır. Bu kalanlar daha önce adı geçen iki tümleyendir; bu da ileri sürülen şeydi.

¶ Önerme 44

Verilen bir doğru üzerine, açısı verilen bir açıya ve alanı verilen bir üçgene eşit olan bir paralelkenar inşa etmek. ¶ Verilen bir doğru üzerine bir paralelkenar inşa etmek, o doğruyu şeklin bir kenarı yapmak anlamına gelir. Verilen doğru a-b, verilen açı c ve verilen üçgen d-e-f olsun. a-b doğrusu üzerine, a-b kenarlarından biri olacak, karşılıklı açılarının her biri c açısına eşit olacak ve toplam alanı d-e-f üçgenine eşit olacak bir paralelkenar inşa etmek istiyorum. Bu, Önerme 42'den farklıdır, çünkü burada çizilecek şeklin bir kenarı verilmiştir (a-b doğrusu), oysa orada hiçbir kenar belirtilmemişti. Bu yüzden bunu yapmak istediğimde, a-g doğrusunu birleştiririm...

[s. 22] KİTAP I

[Not: Sol kenar boşluğunda üç geometrik diyagram yer alır: 1. (Üstte) Bir paralelkenar inşası (Önermeler 44-45). Üst çizgide m, k, l, n; orta çizgide g, a, b; alt çizgilerde o, p, q harfleri bulunur. n'den başlayıp a'dan geçen bir köşegen çizgisi uzanır. 2. (Ortada) Önerme 45'i temsil eden bir kare. Üst köşelerinde c, d ve alt köşelerinde a, b harfleri vardır. 3. (Altta) Pisagor Teoremi için bir diyagram (Önerme 46). Merkezdeki dik açılı üçgen a, b, c olarak harflendirilmiştir. Hipotenüs bc üzerine köşeleri d, e olan büyük bir kare inşa edilmiştir. ab dik kenarı (f, g harfleri) ve ac dik kenarı (h, k harfleri) üzerine daha küçük kareler inşa edilmiştir. Çizgiler karelerin köşelerini üçgene bağlar (örneğin ad, ae).]

...ab doğrusunun düz bir çizgi halinde: bunu verilen üçgenin tabanı olan cf doğrusuna eşit kılarım, üzerine buna eşit ve eşkenar tek bir üçgen kurarım. Bunu şu şekilde yaparım: [Not: I. Kitabın 23. Önermesi, belirli bir doğru üzerinde verilen bir açıya eşit bir açının nasıl inşa edileceğini açıklar.] aracılığıyla agk açısını e açısına eşit, gak açısını da f açısına eşit kılarım; ve ga ef'ye eşit kılındığı için, aracılığıyla gak üçgeni cfd üçgenine eşit ve eşkenar olacaktır. Bu yüzden ga'yı b noktasında eşit parçalara böleceğim ve kb doğrusunu çizeceğim ve k noktasından gb doğrusuna paralel mkn doğrusunu çekeceğim. aracılığıyla abk üçgeni gbk üçgenine eşit olacaktır. Ardından, ga doğrusunun a noktası üzerinde, aracılığıyla gal açısını verilen c açısına eşit yapacağım; ve ab tabanı üzerinde ve gb ile mn paralel doğruları arasında, [Not: özgünü: "superficiem equidistantium laterum", harfiyen "eşit mesafeli kenarların yüzeyi".] mlba'yı tamamlayacağım, bu aracılığıyla kba üçgeninin iki katı olacak ve bu nedenle toplam kga üçgenine eşit ve sonuç olarak önerilen def üçgenine eşit olacaktır. Sonra al'ye paralel bn çizeceğim ve mb ile o noktasında birleşene kadar uzatacağım na çapını çekeceğim. monq paralelkenarını tamamlayacağım ve la'yı p'ye kadar uzatacağım. Önceki [Not: özgünü: "supplementum". Geometride bu, bir paralelkenarın köşegeni üzerindeki bir noktadan geçen kenarlarına paralel doğrularla bölündüğünde içinde oluşan alanları ifade eder.] aracılığıyla, abpq mlba tümleyenine eşit olacak ve bu nedenle def üçgenine eşit olacaktır. Ve aracılığıyla lab açısı bap açısına eşit olduğundan ve bu nedenle bap açısı c açısına eşit olduğundan, açıkça görülür ki verilen ab doğrusu üzerine, verilen def üçgenine eşit abpq paralelkenarı çizilmiştir; bunun karşılıklı yerleşmiş iki açısının her biri, yani a ve q, verilen c açısına eşittir, ki bu da ileri sürülen şeydi.

¶ Önerme 45.

Verilen bir doğrudan bir kare çizmek. ab, kendisinden bir kare imal etmek istediğim verilen doğru olsun. ab doğrusunun a ve b noktalarından, aracılığıyla ab doğrusuna dik ac ve bd doğrularını çekerim, bunlar 'ün son kısmı aracılığıyla paralel olacaktır. İkinci [önerme] aracılığıyla bunların her birini aynı ab'ye eşit kılarım ve cd doğrusunu çizerim. Bu doğru, aracılığıyla ab doğrusuna eşit ve paralel olacaktır. Ve a ve b açılarının her biri dik açı olduğundan, c ve d açılarının her biri de 'ün son kısmı aracılığıyla dik açı olacaktır. Dolayısıyla, tanım gereği abcd bir karedir, ki bu da ileri sürülen şeydi. Aynısı başka şekilde de yapılabilir: aracılığıyla ac, ab doğrusu üzerine dik olsun ve daha önce olduğu gibi ona eşit olsun; ve c noktasından, aracılığıyla cd, ab'ye paralel olarak çizilsin ve ona eşit kılınsın ve db doğrusu çizilsin, bu da aracılığıyla ac'ye eşit ve paralel olacaktır. 'ün son kısmı aracılığıyla bütün açılar dik açıdır, dolayısıyla tanım gereği ileri sürülen şeyi elde ederiz.

¶ Önerme 46.

Her dik açılı üçgende, dik açının karşısındaki kenar üzerine kurulan ve kendisiyle çarpılan kare, kalan iki kenar üzerine çizilen iki kareye eşittir. [Not: Bu, meşhur Pisagor Teoremi'dir; ancak burada birinci kitabın 46. önermesi olarak Orta Çağ numaralandırmasını takip etmektedir.] a açısı dik açı olan bir abc üçgeni olsun. bc kenarının karesinin, ab'nin karesi ile ac'nin karesinin toplamına eşit olduğunu söylerim. Önceki [önermenin] öğretisine göre üç kenarın karesini alacağım: bc'nin karesi bcde yüzeyi, ba'nın karesi bfga yüzeyi ve ac'nin karesi achk yüzeyi olsun. Dik açı olan a'dan, de tabanına (son karenin tabanı) üç doğru çekeceğim: bd ve ce kenarlarının her birine paralel olan ve bc'yi m noktasında kesecek olan fal ve [Not: Özgünü: "ypothemisas". Bu özel kanıtta karelerin köşelerini birleştiren doğrular için kullanılan ve "hipotenüs"ten türetilmiş bir Orta Çağ terimi.] ad ve ae doğruları. Aynı şekilde, üçgenin kalan iki açısı olan b ve c'den, iki küçük karenin iki açısına doğru, aynı...

[s. 23] ...üçgenler içinde birbiriyle kesişen iki doğru çekeceğim; bunlar b, k ve c, f'dir. [Not: Özgünü: "triangulū que sunt.b.k.z.c.f.z", Metin aktarımındaki 'z' karakterleri muhtemelen 'et' (ve) bağlacını ya da bir noktalama işaretini temsil etmektedir.] bac ve bag açılarının her biri dik açı olduğundan, Önerme 14 uyarınca [Not: Önerme 14, iki doğru bitişik açıları iki dik açıya eşit kılacak şekilde birleşirse, bunların tek bir doğru çizgi oluşturacağını belirtir.], gc tek bir doğru çizgi olacaktır. Aynı sebepten ötürü bh da tek bir doğru olacaktır, çünkü cab ve cah açılarının her biri dik açıdır. Dolayısıyla, bfga paralelkenarı ile bfc üçgeni, bf tabanı üzerinde ve [Not: Özgünü: "equidistantes"] cg ile bf olan iki paralel doğru arasında kurulduğundan, Önerme 41 uyarınca bfga paralelkenarı bfc üçgeninin iki katı olacaktır. Dahası, Önerme 4 uyarınca [Not: Kenar-Açı-Kenar eşlik teoremi.] bfc üçgeni abd üçgenine eşittir; zira ilkinin fb ve bc kenarları ikincisinin ab ve bd kenarlarına eşittir ve ilkinin b açısı ikincisinin b açısına eşittir, çünkü her biri bir dik açı ile ortak abc açısından meydana gelir. Bu nedenle bfga paralelkenarı abd üçgeninin iki katıdır. Fakat bdlm paralelkenarı da Önerme 41 uyarınca aynı üçgenin iki katıdır, zira aynı taban, yani bd üzerinde ve bd ile al paralel doğruları arasında kurulmuşlardır. Bu yüzden, ortak mefhum [Not: Özgünü: "cōmunē sciām", Öklid'in Ortak Mefhumlar'ına ya da Aksiyomlar'ına atıfta bulunur; bilhassa aynı şeye eşit olan şeyler birbirine de eşittir aksiyomu.] uyarınca, abfg karesi ile bdlm paralelkenarı birbirine eşittir, çünkü yarıları (yani mezkûr üçgen) birbirine eşittir. Aynı şekilde ve aynı önermeler vasıtasıyla, kbc ve aec üçgenleri aracılığıyla ackb karesinin celm paralelkenarına eşit olduğunu kanıtlayacağız. Böylece önerme açıktır.

Önerme 47 [Not: Sağ kenar boşluğundaki bir geometrik çizim, Pisagor Teoremi'nin karşıtını (Önerme 47) gösterir. Tepe noktasından tabana dikme indirilmiş bir üçgeni tasvir eder. Köşeler tepede 'c', sol altta 'a', dikmenin tabanla kesiştiği yerde 'b' ve sağ altta 'd' olarak harflendirilmiştir.]

Bir üçgenin bir kenarının kendisiyle çarpımı [Not: Bir doğrunun karesini almayı ifade eden Latince ibarenin harfi harfine çevirisi.], kalan iki kenar üzerine kurulan iki kareye eşitse, o kenarın karşısındaki açı bir dik açıdır. ¶ Bir doğruyu kendisiyle çarpmak, onun karesini kurmaktır. ¶ Bir abc üçgeni olsun ve ac kenarının karesi, ab ve bc kenarlarının birlikte alınan karelerine eşit olsun. ac kenarının karşısındaki b açısının dik açı olduğunu söylerim; bu da önceki teoremin karşıtıdır. ¶ b noktasından bc doğrusuna dik olan ve ab'ye eşit kıldığım bd doğrusunu çizerim ve dc doğrusunu uzatırım. Önceki teorem uyarınca dc'nin karesi, db ve bc doğrularının iki karesine eşit olacaktır. bd doğrusu ba'ya eşit kılındığından, eşit doğruların karelerinin de eşit olduğunu bildiren ortak mefhum uyarınca, ab ve bd doğrularının karelerinin eşit olduğu sonucu çıkar. Bu sebepten dc'nin karesi ac'nin karesine eşit olacaktır. Dolayısıyla, ilkinin karşıtı olan ve kareleri eşit olan doğruların kendilerinin de eşit olduğunu bildiren bir başka ortak mefhum uyarınca, dc doğrusu ac'ye eşit olacaktır. Bundan ötürü, Önerme 8 uyarınca abc üçgeninin b açısı bir dik açıdır, ki bu da ileri sürülmesi gereken şeydi.

Önerme 48 [Not: Sağ kenar boşluğunda, bir gnomonun (fırıldak) inşasını gösteren ve Önerme 48'i açıklayan geometrik bir çizim yer alır. İç içe geçmiş iki kare içerir; içteki kare 'a' ile harflendirilmiştir. Çevreleyen gnomon ve uzatılmış çizim 'b' (sol alt), 'f', 'c' (sağ alt), 'd' ve 'e' noktalarıyla işaretlenmiştir.]

Herhangi iki kare verildiğinde, bunlardan birinin etrafına diğer kareye eşit bir [Not: Gnomon, daha büyük bir kareden daha küçük bir kare çıkarıldıktan sonra geriye kalan L biçimli şekildir.] çizmek.

¶ İki kare verilmiş olsun, bunlar ab ve cd olsun ve amaç ab etrafında cd karesine eşit bir gnomon meydana getirmek olsun. Bu nedenle, ab karesinin bir kenarı kesintisiz ve düz bir doğru boyunca cd karesinin bir kenarının uzunluğu kadar uzatılsın ve bu fe olsun, öyle ki fe, cd karesinin kenarlarından birine eşit olsun. Ve e noktasından a noktasına düz bir doğru çekeceğim. Böylece f bir dik açı olduğundan bir dik açılı [Not: özgün metin: "orthogoni⁹"] üçgen elde edilsin. Bu nedenle, birinci kitabın sondan bir önceki [önermesine] [Not: Pisagor Teoremine atıfta bulunuluyor.] göre şu şekilde akıl yürütülsün: ea karesi, ef karesi ile fa karesinin toplamı kadardır. Fakat ef karesi cd karesine eşittir ve fa karesi ab karesine eşittir. Dolayısıyla ae karesi, ab ve cd karelerine eşittir. Benzer biçimde efa bir üçgendir, bu yüzden birinci kitabın 20. Önermesine göre ef ve fa kenarları ae kenarından daha uzundur. Fakat karenin doğası gereği fa, ab'ye eşittir; bu nedenle ef ve fb, ae'den daha uzundur. Dolayısıyla bu bütün doğru, yani eb, ae'den büyüktür. Bu sebeple be, c noktasında ae'nin eşitliğine kadar kısaltılsın, öyle ki bc, ae'ye eşit olsun. Dolayısıyla bc karesi ae karesine eşittir. Fakat daha önce kanıtlandığı üzere ae karesi ab ve cd karelerine eşittir. Bu yüzden bc karesi de aynısına eşittir. Ne var ki bc karesi, ab karesinin üzerine gördüğün o gnomonu ekler. Dolayısıyla gnomon cd karesine eşittir. Kanıtlanması gereken de buydu. Birinci kitap burada biter.

[Not: Sol alt köşede elle çizilmiş bir kenar boşluğu krokisi. Köşeleri A, B ve C olarak etiketlenmiş bir üçgen ile D, E, F ve G olarak etiketlenmiş noktalara uzanan yardımcı çizim doğrularını göstermektedir. Çizimin altında büyük bir 'X' işareti bulunmaktadır.]